Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 9925 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 36354 | Θέμα: | 2 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 26-Ιουλ-2024 | Ύλη: | 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 3.14. Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου 3.15. Εφαπτόμενα τμήματα | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 2 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 36354 | ||
| Ύλη: | 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 3.14. Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου 3.15. Εφαπτόμενα τμήματα | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 26-Ιουλ-2024 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 2
Έστω κύκλος \((Ο, ρ)\) και ένα εξωτερικό του σημείο \(Α\). Από το \(Α\) φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα \(ΑΒ\) και \(ΑΓ\) του κύκλου και έστω \(Ε\) και \(Δ\) τα αντιδιαμετρικά σημεία των \(Β\) και \(Γ\) αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) τα τρίγωνα \(ΑΒΕ\) και \(ΑΓΔ\) είναι ίσα, (Μονάδες 13)
β) τα τρίγωνα \(ΑΒΔ\) και \(ΑΓΕ\) είναι ίσα. (Μονάδες 12)
ΛΥΣΗ
α) Είναι \(\widehat{ABE} = \widehat{AΓΔ} = 90^{\circ}\), επειδή οι ακτίνες \(ΟΒ\) και \(ΟΓ\) που καταλήγουν στα σημεία επαφής \(Β\) και \(Γ\) αντίστοιχα είναι κάθετες στις αντίστοιχες εφαπτόμενες \(ΑΒ\) και \(ΑΓ\).
Τα τρίγωνα \(ΑΒΕ\) και \(ΑΓΔ\) είναι ορθογώνια και έχουν:
\(ΑΒ = ΑΓ\), ως εφαπτόμενα τμήματα που άγονται από σημείο εκτός κύκλου προς αυτόν
\(ΒΕ = ΓΔ = 2ρ\)
Άρα τα τρίγωνα \(ΑΒΕ\) και \(ΑΓΔ\) είναι ίσα, γιατί ως ορθογώνια έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς μία.
β) Φέρουμε τα τμήματα \(ΔΒ\) και \(ΕΓ\).
Είναι \(\widehat{BOΔ} = \widehat{Γ OE}\) ως κατακορυφήν γωνίες. Οι ίσες γωνίες \(\widehat{BOΔ}\) και \(\widehat{Γ OE}\) είναι και επίκεντρες, οπότε και τα αντίστοιχα τόξα τους θα είναι ίσα, δηλαδή \(\widehat{Δ B} = \widehat{EΓ}\), άρα και οι αντίστοιχες χορδές τους θα είναι ίσες, δηλαδή \(ΔΒ = ΕΓ\) \((1)\).
Συγκρίνουμε τα τρίγωνα \(ΑΒΔ\) και \(ΑΓΕ\), τα οποία έχουν:
\(ΑΒ = ΑΓ\), ως εφαπτόμενα τμήματα
\(ΑΔ = ΑΕ\), ως υποτείνουσες των ίσων τριγώνων \(ΑΒΕ\) και \(ΑΓΔ\) του α) ερωτήματος
\(ΔΒ = ΕΓ\), από σχέση \((1)\)
Οπότε τα τρίγωνα \(ΑΒΔ\) και \(ΑΓΕ\) είναι ίσα, γιατί έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία (ΠΠΠ).