Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 3581 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 36649 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023 Ύλη: 5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 36649
Ύλη: 5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν \(204800\) βακτήρια. Μετά από \(1\) ώρα υπάρχουν \(102400\) βακτήρια, μετά από \(2\) ώρες υπάρχουν \(51200\) βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα.

α) Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν μετά από \(6\) ώρες;
(Μονάδες 6)

β) Τη χρονική στιγμή όμως που τα βακτήρια ήταν \(3200\), ο οργανισμός παρουσίασε ξαφνική επιδείνωση. Ο αριθμός των βακτηρίων άρχισε πάλι να αυξάνεται ώστε κάθε μια ώρα να τριπλασιάζεται. Το φαινόμενο αυτό διήρκεσε για \(5\) ώρες. Συμβολίζουμε με \(β_{ν}\) το πλήθος των βακτηρίων \(ν\) ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης (\(ν\le 5\)).

  1. Να δείξετε ότι η ακολουθία \((β_{ν})\) είναι γεωμετρική πρόοδος και να βρείτε τον πρώτο όρο και το λόγο της.
    (Μονάδες 6)

  2. Να εκφράσετε το πλήθος \(β_{ν}\) των βακτηρίων συναρτήσει του \(ν\).
    (Μονάδες 6)

  3. Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν στον οργανισμό \(3\) ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης;
    (Μονάδες 7)

ΛΥΣΗ

Το πλήθος των βακτηρίων, στο τέλος κάθε ώρας, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου \((α_{ν})\) με πρώτο όρο \(α_{1}=102400\) και λόγο \(λ=\dfrac{1}{2}\).

α) ο ν-στός όρος της προόδου δίνεται από τον τύπο \(α_{ν}=α_{1}λ^{ν-1}\) και είναι:

$$α_{ν}=102400\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{ν-1}$$

Μετά από \(6\) ώρες ο αριθμός των βακτηρίων θα είναι:

$$α_{6}=102400\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{5}$$ $$=102400\cdot \dfrac{1}{32}=3200$$

β)

  1. Μετά την ξαφνική επιδείνωση του οργανισμού ο αριθμός των βακτηρίων άρχισε να αυξάνεται ώστε κάθε μια ώρα να τριπλασιάζεται. Άρα η ακολουθία \((β_{ν})\) είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο \(λ=3\) και πρώτο όρο \(β_{1}=3200\cdot 3=9600\).

  2. Είναι:

$$β_{ν}=β_{1}λ^{ν-1}$$ $$=9600\cdot 3^{ν-1},ν\le 5$$

  1. Ο αριθμός των βακτηρίων που θα υπάρχουν στον οργανισμό \(3\) ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης θα είναι:

$$β_{3}=9600\cdot 3^{3-1}$$ $$=9600\cdot 3^{2}=86.400$$