Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 2271 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 36649 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 13-Νοε-2023 | Ύλη: | 5.3. Γεωμετρική πρόοδος | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 36649 | ||
| Ύλη: | 5.3. Γεωμετρική πρόοδος | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν \(204800\) βακτήρια. Μετά από \(1\) ώρα υπάρχουν \(102400\) βακτήρια, μετά από \(2\) ώρες υπάρχουν \(51200\) βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα.
α) Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν μετά από \(6\) ώρες;
(Μονάδες 6)
β) Τη χρονική στιγμή όμως που τα βακτήρια ήταν \(3200\), ο οργανισμός παρουσίασε ξαφνική επιδείνωση. Ο αριθμός των βακτηρίων άρχισε πάλι να αυξάνεται ώστε κάθε μια ώρα να τριπλασιάζεται. Το φαινόμενο αυτό διήρκεσε για \(5\) ώρες. Συμβολίζουμε με \(β_{ν}\) το πλήθος των βακτηρίων \(ν\) ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης (\(ν\le 5\)).
Να δείξετε ότι η ακολουθία \((β_{ν})\) είναι γεωμετρική πρόοδος και να βρείτε τον πρώτο όρο και το λόγο της.
(Μονάδες 6)Να εκφράσετε το πλήθος \(β_{ν}\) των βακτηρίων συναρτήσει του \(ν\).
(Μονάδες 6)Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν στον οργανισμό \(3\) ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης;
(Μονάδες 7)
ΛΥΣΗ
Το πλήθος των βακτηρίων, στο τέλος κάθε ώρας, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου \((α_{ν})\) με πρώτο όρο \(α_{1}=102400\) και λόγο \(λ=\dfrac{1}{2}\).
α) ο ν-στός όρος της προόδου δίνεται από τον τύπο \(α_{ν}=α_{1}λ^{ν-1}\) και είναι:
$$α_{ν}=102400\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{ν-1}$$
Μετά από \(6\) ώρες ο αριθμός των βακτηρίων θα είναι:
$$α_{6}=102400\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{5}$$ $$=102400\cdot \dfrac{1}{32}=3200$$
β)
Μετά την ξαφνική επιδείνωση του οργανισμού ο αριθμός των βακτηρίων άρχισε να αυξάνεται ώστε κάθε μια ώρα να τριπλασιάζεται. Άρα η ακολουθία \((β_{ν})\) είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο \(λ=3\) και πρώτο όρο \(β_{1}=3200\cdot 3=9600\).
Είναι:
$$β_{ν}=β_{1}λ^{ν-1}$$ $$=9600\cdot 3^{ν-1},ν\le 5$$
- Ο αριθμός των βακτηρίων που θα υπάρχουν στον οργανισμό \(3\) ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης θα είναι:
$$β_{3}=9600\cdot 3^{3-1}$$ $$=9600\cdot 3^{2}=86.400$$