Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 2732 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 36650 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023 Ύλη: 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 36650
Ύλη: 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Ο ιδιοκτήτης ενός ταξιδιωτικού γραφείου εκτιμά ότι, όταν για μια συγκεκριμένη διαδρομή διαθέτει τα εισιτήρια στην κανονική τιμή των \(21\ \text{€}\) ανά εισιτήριο, τότε πουλά κατά μέσο όρο \(30\) μόνο εισιτήρια, ενώ το λεωφορείο έχει \(51\) θέσεις.

Θέλοντας να αυξήσει την πελατεία του, κάνει την ακόλουθη προσφορά: Ο πρώτος επιβάτης που θα αγοράσει εισιτήριο θα πληρώσει \(3\ \text{€}\) και κάθε επόμενος επιβάτης να πληρώνει \(0,5\ \text{€}\) περισσότερα από τον προηγούμενο.

α) Να βρείτε πόσο θα πληρώσει ο δεύτερος, ο τρίτος και ο τέταρτος επιβάτης.
(Μονάδες 4)

β) Αν, για κάθε \(ν\le 51\) ο αριθμός \(α_{ν}\) εκφράζει το ποσό που θα πληρώσει ο ν-οστός επιβάτης, να δείξετε ότι οι αριθμοί \(α_{1},α_{2},...,α_{51}\) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να βρείτε τη διαφορά \(ω\) της προόδου.
(Μονάδες 6)

γ) Αν το λεωφορείο γεμίσει, να βρείτε το ποσό που θα πληρώσει ο \(51ος\) επιβάτης.
(Μονάδες 7)

δ) Να βρείτε πόσα τουλάχιστον εισιτήρια θα πρέπει να πουληθούν ώστε η είσπραξη του γραφείου με αυτή την προσφορά να ξεπερνά την είσπραξη που θα έκανε αν πουλούσε \(30\) εισιτήρια στην τιμή των \(21\ \text{€}\) ανά εισιτήριο.
(Δίνεται: \(\sqrt{10201}=101\))
(Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ

Ο πρώτος επιβάτης που θα αγοράσει εισιτήριο θα πληρώσει \(3\ \text{€}\) και κάθε επόμενος επιβάτης θα πληρώνει \(0,5\ \text{€}\) περισσότερο από τον προηγούμενο.

α) Ο δεύτερος επιβάτης θα πληρώσει \(3+0,5=3,5\ \text{€}\), ο τρίτος θα πληρώσει \(3,5+0,5=4\ \text{€}\) και ο τέταρτος θα πληρώσει \(4+0,5=4,5\ \text{€}\).

β) Δεδομένου ότι ο πρώτος επιβάτης που θα αγοράσει εισιτήριο θα πληρώσει \(3\ \text{€}\) και κάθε επόμενος επιβάτης θα πληρώνει \(0,5\ \text{€}\) περισσότερο από τον προηγούμενο, οι αριθμοί \(α_{1},α_{2},...,α_{51}\) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με \(α_{1}=3\) και \(ω=0,5\).

γ) Ο \(51ος\) επιβάτης θα πληρώσει \(α_{51}=3+(51-1)\cdot 0,5=28\ \text{€}\).

δ) Ζητάμε την μικρότερη τιμή του φυσικού αριθμού \(ν\) ώστε \(S_{ν}>30\cdot 21\). Είναι:

$$S_{ν}>30\cdot 21 $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{ν}{2}[2\cdot 3+(ν-1)\cdot 0,5]>630$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{ν}{2}\left(6+\dfrac{ν-1}{2}\right)>630 $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{ν}{2}\left(\dfrac{12+ν-1}{2}\right)>630$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{ν(ν+11)}{4}>630 $$ $$\Leftrightarrow ν^{2}+11ν-2520>0\ \ \ \ (1)$$

Το τριώνυμο \(ν^{2}+11ν-2520>0\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=11^{2}-4(-2520)=10201$$

και ρίζες τους αριθμούς \(ν=45\), \(ν=-56\) που απορρίπτεται.

Επομένως η ανίσωση \((1)\) έχει λύση κάθε θετικό ακέραιο \(ν\) με \(ν>45\), οπότε για να συμφέρει η προσφορά πρέπει να πουληθούν τουλάχιστον \(46\) εισιτήρια.