Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 6313 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 36651 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 03-Νοε-2023 Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 36651
Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 03-Νοε-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η εξίσωση \(x^{2}-2λx+4λ+5=0\) με παράμετρο \(λ\in \mathbb{R}\).

α) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης όταν \(λ=-2\) και όταν \(λ=3\).
(Μονάδες 8)

β)

  1. Να αποδείξετε ότι αν \(λ=5\), τότε η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα.
    (Μονάδες 3)

  2. Να εξετάσετε αν υπάρχει άλλη τιμή του \(λ\), ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα.
    (Μονάδες 6)

γ) Αν ισχύει \(|λ^{2}-4λ-5|=4λ-λ^{2}+5,λ\in \mathbb{R}-\{-1,5\}\) να αποδείξετε ότι η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.
(Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ

α) Η εξίσωση \(x^{2}-2λx+4λ+5=0\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=4λ^{2}-16λ-20=4(λ^{2}-4λ-5)$$

Όταν \(λ=-2\), τότε:

$$Δ=4(4+8-5)=28>0$$

οπότε η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες.

Όταν \(λ=3\), τότε:

$$Δ=4(9-12-5)=-32<0$$

οπότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.

β)

  1. Όταν \(λ=5\) η εξίσωση έχει διακρίνουσα \(Δ=4(25-20-5)=0\), οπότε έχει μια διπλή ρίζα.

  2. Η εξίσωση έχει διπλή ρίζα μόνο όταν ισχύει \(Δ=0\). Είναι:

    $$Δ=0$$ $$\Leftrightarrow λ^{2}-4λ-5=0 $$ $$\Leftrightarrow λ=5\ \text{ή}\ λ=-1$$

    Επομένως, εκτός από την περίπτωση \(λ=5\) που συναντήσαμε στο ερώτημα βi), η εξίσωση έχει διπλή ρίζα και όταν \(λ=-1\).

γ) Ισχύει:

$$|λ^{2}-4λ-5|=4λ-λ^{2}+5$$ $$=-(λ^{2}-4λ-5),\ λ\in \mathbb{R}-\{-1,5\}$$

οπότε ο αριθμός \(λ^{2}-4λ+5\) είναι αρνητικός. Επομένως η διακρίνουσα \(Δ=4(λ^{2}-4λ-5)\) είναι αρνητική και η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.