Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 4056 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 36658 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 36658
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Μια μικρή μεταλλική σφαίρα εκτοξεύεται κατακόρυφα από το έδαφος. Το ύψος \(y\) (σε \(cm\)) στο οποίο θα βρεθεί η σφαίρα τη χρονική στιγμή \(t\) (σε \(sec\)) μετά την εκτόξευση, δίνεται από τη σχέση: \(y=60t-5t^{2}\).

α) Μετά πόσο χρόνο η σφαίρα θα επανέλθει στο έδαφος;
(Μονάδες 8)

β) Ποιες χρονικές στιγμές η σφαίρα θα βρεθεί σε ύψος \(y=175\ m\);
(Μονάδες 8)

γ) Να βρείτε το χρονικό διάστημα στη διάρκεια του οποίου η σφαίρα βρίσκεται σε ύψος μεγαλύτερο από \(100\ m\).
(Μονάδες 9)

ΛΥΣΗ

α) Όταν η σφαίρα επανέλθει στο έδαφος θα ισχύει \(y=0\). Είναι:

$$y=0 $$ $$\Leftrightarrow 60t-5t^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow 5t(12-t)=0 $$ $$\Leftrightarrow t=0\ \text{ή}\ t=12$$

Για \(t=0\ sec\) η σφαίρα βρίσκεται στην αρχή της κίνησης οπότε η τιμή \(t=0\) απορρίπτεται. Άρα η σφαίρα θα επανέλθει στο έδαφος μετά από \(t=12\ sec\).

β) Ισχύει:

$$y=175 $$ $$\Leftrightarrow 60t-5t^{2}=175 $$ $$\Leftrightarrow 5t^{2}-60t+175=0$$ $$\Leftrightarrow t^{2}-12t+35=0 $$ $$\Leftrightarrow t=5\ \text{ή}\ t=7$$

Άρα η σφαίρα θα βρεθεί σε ύψος \(175\ m\) τις χρονικές στιγμές \(5\ sec\) και \(7\ sec\).

γ) Η σφαίρα βρίσκεται σε ύψος μεγαλύτερο από \(100\ m\) όταν \(y>100\). Είναι:

$$y>100 $$ $$\Leftrightarrow 60t-5t^{2}>100 $$ $$\Leftrightarrow 5t^{2}-60t+100 < 0$$ $$\Leftrightarrow t^{2}-12t+20 < 0 $$ $$\Leftrightarrow 2 < t < 10$$

Άρα η σφαίρα βρίσκεται σε ύψος μεγαλύτερο από \(100\ m\) μεταξύ των χρονικών στιγμών \(2\ sec\) και \(10\ sec\).