Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 3785 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 36659 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 06-Οκτ-2023 Ύλη: 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 36659
Ύλη: 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β
Τελευταία Ενημέρωση: 06-Οκτ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Ένας αθλητής κολυμπάει ύπτιο και καίει \(9\) θερμίδες το λεπτό, ενώ όταν κολυμπάει πεταλούδα καίει \(12\) θερμίδες το λεπτό. Ο αθλητής θέλει, κολυμπώντας, να κάψει \(360\) θερμίδες.

α) Αν ο αθλητής θέλει να κολυμπήσει ύπτιο \(32\) λεπτά, πόσα λεπτά πρέπει να κολυμπήσει πεταλούδα για να κάψει συνολικά \(360\) θερμίδες;
(Μονάδες 5)

β) Ο αθλητής αποφασίζει πόσο χρόνο θα κολυμπήσει ύπτιο και στη συνέχεια υπολογίζει πόσο χρόνο πρέπει να κολυμπήσει πεταλούδα για να κάψει \(360\) θερμίδες.

  1. Αν \(x\) είναι ο χρόνος (σε λεπτά) που ο αθλητής κολυμπάει ύπτιο, να αποδείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης που εκφράζει το χρόνο που πρέπει να κολυμπήσει πεταλούδα για να κάψει \(360\) θερμίδες είναι: \(f(x)=30-\dfrac{3}{4}x\).
    (Μονάδες 7)

  2. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης του ερωτήματος β (i), στο πλαίσιο του συγκεκριμένου προβλήματος.
    (Μονάδες 4)

γ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης του ερωτήματος (β), να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες και να ερμηνεύσετε τη σημασία τους στο πλαίσιο του προβλήματος.
(Μονάδες 9)

ΛΥΣΗ

α) Ο αθλητής όταν κολυμπάει ύπτιο, καίει \(9\) θερμίδες το λεπτό. Άρα σε \(32\) λεπτά θα έχει κάψει \(9\cdot 32=288\) θερμίδες.

Ο αθλητής όταν κολυμπάει πεταλούδα, καίει \(12\) θερμίδες το λεπτό. Αν υποθέσουμε ότι κολυμπάει με αυτό το στυλ \(x\) λεπτά, τότε θα κάψει \(12\cdot x\) θερμίδες. Επειδή ο αθλητής θέλει, κολυμπώντας, να κάψει \(360\) θερμίδες, ισχύει:

$$288+12x=360 $$ $$\Leftrightarrow 12x=72 $$ $$\Leftrightarrow x=6$$

Άρα ο αθλητής πρέπει να κολυμπήσει πεταλούδα \(6\) λεπτά.

β)

  1. Έστω \(x\) ο χρόνος σε λεπτά που ο αθλητής κολυμπάει ύπτιο και \(y\) ο χρόνος σε λεπτά που ο αθλητής κολυμπάει πεταλούδα. Τότε, για να κάψει \(360\) θερμίδες κολυμπώντας και με τα δυο στυλ, πρέπει να ισχύει:

    $$9x+12y=360 $$ $$\Leftrightarrow 12y=360-9x $$ $$\Leftrightarrow y=30-\dfrac{3}{4}x$$

    Άρα \(f(x)=30-\dfrac{3}{4}x\).

  2. Επειδή οι \(x\), \(f(x)\) είναι μεταβλητές χρόνου, πρέπει: \(x\ge 0\) και \(f(x)\ge 0\). Έτσι, έχουμε:

    $$f(x)\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow 30-\dfrac{3}{4}x\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{3}{4}x\le 30 $$ $$\Leftrightarrow 3x\le 120 $$ $$\Leftrightarrow x\le 40$$

    οπότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: \(A_{f}=[0,40]\).

γ) Η \(C_{f}\) τέμνει τον άξονα \(x'x\) στο σημείο της με τεταγμένη \(y=0\), δηλαδή \(f(x)=0\). Είναι:

$$f(x)=0 $$ $$\Leftrightarrow 30-\dfrac{3}{4}x=0 $$ $$\Leftrightarrow 3x=120 $$ $$\Leftrightarrow x=40$$

Επομένως η \(C_{f}\) τέμνει τον άξονα \(x'x\) στο σημείο \(A(40,0)\). Επιπλέον:

$$f(0)=30-\dfrac{3}{4}\cdot 0=30$$

οπότε η \(C_{f}\) τέμνει τον άξονα \(y'y\) στο σημείο \(B(0,30)\).

Η γραφική παράσταση της \(f\) είναι το ευθύγραμμο τμήμα \(ΑΒ\) (τμήμα της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία \(Α\), \(Β\)). Επομένως είναι:

Το σημείο \(Α\) δείχνει ότι όταν ο αθλητής δεν κολυμπάει πεταλούδα χρειάζεται \(40\) λεπτά ύπτιο για να κάψει \(360\) θερμίδες ενώ το σημείο \(Β\) δείχνει ότι όταν ο αθλητής δεν κολυμπάει ύπτιο χρειάζεται \(30\) λεπτά πεταλούδα για να κάψει \(360\) θερμίδες.