Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 3510 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 36660 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023 Ύλη: 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 36660
Ύλη: 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Ένας μελισσοκόμος έχει τοποθετήσει \(20\) κυψέλες σε μια ευθεία η οποία διέρχεται από την αποθήκη του \(Α\). Η πρώτη κυψέλη απέχει \(1\) μέτρο από την αποθήκη \(Α\), η δεύτερη \(4\) μέτρα από το \(Α\), η τρίτη \(7\) μέτρα από το \(Α\) και γενικά κάθε επόμενη κυψέλη απέχει από την αποθήκη \(Α\), \(3\) επιπλέον μέτρα, σε σχέση με την προηγούμενη κυψέλη.

α) Να αποδείξετε ότι οι αποστάσεις των κυψελών από την αποθήκη \(Α\) αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου και να βρείτε τον ν-οστό όρο της προόδου. Τι εκφράζει ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου και τι η διαφορά της;
(Μονάδες 6)

β) Σε πόση απόσταση από την αποθήκη \(Α\) είναι η \(20η\) κυψέλη;
(Μονάδες 6)

γ) Ο μελισσοκόμος ξεκινώντας από την αποθήκη συλλέγει το μέλι, από μια κυψέλη κάθε φορά, και το μεταφέρει στην αποθήκη \(Α\).

  1. Ποια είναι η απόσταση που θα διανύσει ο μελισσοκόμος για να συλλέξει το μέλι από την \(3η\) κυψέλη;
    (Μονάδες 6)

  2. Ποια είναι η συνολική απόσταση που θα διανύσει ο μελισσοκόμος για να συλλέξει το μέλι και από τις \(20\) κυψέλες;
    (Μονάδες 7)

ΛΥΣΗ

α) Οι αποστάσεις \((α_{i}),i=1,2,3,...,20\) των κυψελών \(K_{1},K_{2},K_{3},K_{4},...,K_{20}\) από την αποθήκη \(Α\) διαφέρουν πάντα κατά τον σταθερό αριθμό \(3\). Αποτελούν επομένως διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο \(α_{1}=1\) (η απόσταση της κυψέλης \(Κ_{1}\) από την αποθήκη \(Α\)) και διαφορά \(ω=3\) (η απόσταση δύο διπλανών κυψελών). Ο ν-οστός όρος της προόδου είναι:

$$α_{ν}=α_{1}+(ν-1)ω$$ $$=1+(ν-1)3$$ $$=3ν-2$$


β) Αναζητούμε τον όρο \(α_{20}\). Είναι:

$$α_{20}=3\cdot 20-2=58\ m$$

γ)

  1. Η διαδρομές που θα κάνει ο μελισσοκόμος είναι:

    $$Α\rightarrow Κ_{1}\rightarrow Α$$ $$ Α\rightarrow Κ_{2}\rightarrow Α$$ $$Α\rightarrow Κ_{3}\rightarrow Α$$

    Άρα θα διανύσει απόσταση:

    $$(1+1)+(4+4)+(7+7)=24\ \text{μέτρα}$$

  2. Εφόσον πρέπει να πάει και να γυρίσει σε κάθε κυψέλη, η συνολική απόσταση για να συλλέξει το μέλι από όλες τις κυψέλες είναι:

    $$(1+1)+(4+4)+(7+7)+...+(58+58)=$$ $$(1+4+7+...+58)+(1+4+7+...+58)=2S_{20}$$

    Τελικά η ζητούμενη συνολική απόσταση είναι:

    $$2S_{20}=2\cdot \dfrac{20}{2}(α_{1}+α_{20})$$ $$=20(1+58)$$ $$=20\cdot 59$$ $$=1.180\ \text{μέτρα}$$