Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 3292 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 36661 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 06-Νοε-2023 Ύλη: 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 36661
Ύλη: 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 06-Νοε-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η εξίσωση \((λ^{2}-λ)x^{2}-(λ^{2}-1)x+λ-1=0\), \((1)\) με παράμετρο \(λ\in \mathbb{R}\).

α) Να βρείτε τις τιμές του \(λ\in \mathbb{R}\), για τις οποίες η \((1)\) είναι εξίσωση \(2ου\) βαθμού.
(Μονάδες 6)

β) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές του \(λ\in \mathbb{R}\) που βρήκατε στο ερώτημα (α) η \((1)\) παίρνει τη μορφή: \(λx^{2}-(λ+1)x+1=0\).
(Μονάδες 6)

γ) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές του \(λ\) που βρήκατε στο ερώτημα (α) η \((1)\) έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες.
(Μονάδες 7)

δ) Να προσδιορίσετε τις ρίζες της \((1)\), αν αυτή είναι \(2ου\) βαθμού.
(Μονάδες 6)

ΛΥΣΗ

α) Η εξίσωση \((1)\) είναι \(2ου\) βαθμού, αν και μόνο αν:

$$λ^{2}-λ\ne 0 $$ $$\Leftrightarrow λ(λ-1)\ne 0 $$ $$\Leftrightarrow λ\ne 0 \ \text{και}\ λ\ne 1$$

β) Με \(λ\ne 0\) και \(λ\ne 1\) έχουμε:

$$(λ^{2}-λ)x^{2}-(λ^{2}-1)x+λ-1=0 $$ $$\Leftrightarrow λ(λ-1)x^{2}-(λ-1)(λ+1)x+λ-1=0$$ $$\overset{λ\ne 1}{\Leftrightarrow }λx^{2}-(λ+1)x+1=0$$

που είναι το ζητούμενο.

γ) Με \(λ\ne 0\) και \(λ\ne 1\) η εξίσωση \(λx^{2}-(λ+1)x+1=0\) έχει διακρίνουσα

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=[-(λ+1)]^{2}-4\cdot λ\cdot 1$$ $$=λ^{2}+2λ+1-4λ$$ $$=(λ-1)^{2}>0$$

Επομένως η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες.

δ) Οι ρίζες της εξίσωσης \((1)\) είναι:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{λ+1\pm \sqrt{(λ-1)^{2}}}{2λ}$$ $$=\dfrac{λ+1\pm (λ-1)}{2λ}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{λ+1+λ-1}{2λ}=1 \\ \\ \dfrac{λ+1-λ+1}{2λ}=\dfrac{1}{λ} \end{cases}$$