Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 6152 φορές Επικοινωνία | |
---|---|---|---|---|
Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
Κωδικός Θέματος: | 36670 | Θέμα: | 4 | |
Τελευταία Ενημέρωση: | 31-Μαΐ-2023 | Ύλη: | 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού | |
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) |
Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
---|---|---|---|
Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
Θέμα: | 4 | ||
Κωδικός Θέματος: | 36670 | ||
Ύλη: | 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού | ||
Τελευταία Ενημέρωση: 31-Μαΐ-2023 | |||
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) |
ΘΕΜΑ 4
Δίνονται οι ανισώσεις \(|x+1|\le 2\) και \(x^{2}-x-2>0\).
α) Να λύσετε τις ανισώσεις.
(Μονάδες 10)
β) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για \(x\in [-3,-1)\).
(Μονάδες 5)
γ) Αν οι αριθμοί \(ρ_{1}\) και \(ρ_{2}\) ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δυο ανισώσεων, να δείξετε ότι: \(ρ_{1}-ρ_{2}\in (-2,2)\).
(Μονάδες 10)
ΛΥΣΗ
α) Είναι:
$$|x+1|\le 2 $$ $$\Leftrightarrow -2\le x+1\le 2 $$ $$\Leftrightarrow -2-1\le x+1-1\le 2-1 $$ $$\Leftrightarrow -3\le x\le 1\ \ \ \ (1)$$
Το τριώνυμο \(x^{2}-x-2\) έχει \(α=1\), \(β=-1\), \(γ=-2\) και διακρίνουσα:
$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (-2)$$ $$=1+8=9$$
Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:
$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{9}}{2\cdot 1}$$ $$=\dfrac{1\pm 3}{2} $$ $$\Rightarrow \begin{cases} x_{1} = \dfrac{1+3}{2} = \dfrac{4}{2} =2 \\ x_{2} = \dfrac{1-3}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1 \end{cases}$$
Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.
Επομένως ισχύει:
$$x^{2}-x-2>0 $$ $$\Leftrightarrow x\in (-\infty ,-1)\cup (2,+\infty)\ \ \ \ (2)$$
β) Παριστάνουμε τις λύσεις των ανισώσεων \((1)\) και \((2)\) στον ίδιο άξονα αριθμών και όπως φαίνεται από το σχήμα που ακολουθεί:
οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων είναι: \(x\in [-3,-1)\).
γ) Επειδή \(ρ_{1},ρ_{2}\in [-3,-1)\) ισχύει ότι:
$$-3\le ρ_{1}<-1\ \ \ \ (3)$$
και:
$$-3\le ρ_{2}<-1 $$ $$\Leftrightarrow 3\ge -ρ_{2}>1 $$ $$\Leftrightarrow 1<-ρ_{2}\le 3\ \ \ \ (4)$$
Προσθέτουμε κατά μέλη τις ανισώσεις \((3)\) και \((4)\) και βρίσκουμε:
$$-3+1<ρ_{1}-ρ_{2}<1+1 $$ $$\Leftrightarrow -2<ρ_{1}-ρ_{2}<2$$
Άρα \(ρ_{1}-ρ_{2}\in (-2,2)\).