Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 4736 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 36670 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 31-Μαΐ-2023 Ύλη: 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 36670
Ύλη: 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 31-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνονται οι ανισώσεις \(|x+1|\le 2\) και \(x^{2}-x-2>0\).

α) Να λύσετε τις ανισώσεις.
(Μονάδες 10)

β) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για \(x\in [-3,-1)\).
(Μονάδες 5)

γ) Αν οι αριθμοί \(ρ_{1}\) και \(ρ_{2}\) ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δυο ανισώσεων, να δείξετε ότι: \(ρ_{1}-ρ_{2}\in (-2,2)\).
(Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ

α) Είναι:

$$|x+1|\le 2 $$ $$\Leftrightarrow -2\le x+1\le 2 $$ $$\Leftrightarrow -2-1\le x+1-1\le 2-1 $$ $$\Leftrightarrow -3\le x\le 1\ \ \ \ (1)$$

Το τριώνυμο \(x^{2}-x-2\) έχει \(α=1\), \(β=-1\), \(γ=-2\) και διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (-2)$$ $$=1+8=9$$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{9}}{2\cdot 1}$$ $$=\dfrac{1\pm 3}{2} $$ $$\Rightarrow \begin{cases} x_{1} = \dfrac{1+3}{2} = \dfrac{4}{2} =2 \\ x_{2} = \dfrac{1-3}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1 \end{cases}$$

Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Επομένως ισχύει:

$$x^{2}-x-2>0 $$ $$\Leftrightarrow x\in (-\infty ,-1)\cup (2,+\infty)\ \ \ \ (2)$$

β) Παριστάνουμε τις λύσεις των ανισώσεων \((1)\) και \((2)\) στον ίδιο άξονα αριθμών και όπως φαίνεται από το σχήμα που ακολουθεί:

οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων είναι: \(x\in [-3,-1)\).

γ) Επειδή \(ρ_{1},ρ_{2}\in [-3,-1)\) ισχύει ότι:

$$-3\le ρ_{1}<-1\ \ \ \ (3)$$

και:

$$-3\le ρ_{2}<-1 $$ $$\Leftrightarrow 3\ge -ρ_{2}>1 $$ $$\Leftrightarrow 1<-ρ_{2}\le 3\ \ \ \ (4)$$

Προσθέτουμε κατά μέλη τις ανισώσεις \((3)\) και \((4)\) και βρίσκουμε:

$$-3+1<ρ_{1}-ρ_{2}<1+1 $$ $$\Leftrightarrow -2<ρ_{1}-ρ_{2}<2$$

Άρα \(ρ_{1}-ρ_{2}\in (-2,2)\).