Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 3558 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 36674 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023 Ύλη: 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 36674
Ύλη: 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Ο Διονύσης γράφει στο τετράδιό του τους αριθμούς \(3, 7, 11, 15,...\) και συνεχίζει προσθέτοντας κάθε φορά το \(4\). Σταματάει όταν έχει γράψει τους \(40\) πρώτους από τους αριθμούς αυτούς.

α) Είναι οι παραπάνω αριθμοί διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 4)

β) Να βρείτε το άθροισμα των \(40\) αυτών αριθμών.
(Μονάδες 7)

γ) Είναι ο αριθμός \(120\) ένας από αυτούς τους \(40\) αριθμούς; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 7)

δ) Ο Γιώργος πήρε το τετράδιο του Διονύση και συνέχισε να γράφει διαδοχικούς όρους της ίδιας αριθμητικής προόδου, από εκεί που είχε σταματήσει ο Διονύσης μέχρι να εμφανιστεί ο αριθμός \(235\). Να βρείτε το άθροισμα των αριθμών που έγραψε ο Γιώργος.
(Μονάδες 7)

ΛΥΣΗ

α) Επειδή κάθε όρος που προστίθεται προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού, που είναι το \(4\), οι αριθμοί που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με \(α_1 = 3\) και \(ω = 4\).

β) Είναι:

$$S_{40}=\dfrac{[2\cdot 3+(40-1)\cdot 4]\cdot 40}{2}$$ $$=(6+39\cdot 4)\cdot 20=3240$$

γ) Για να είναι ο αριθμός \(120\) ένας από τους \(40\) αυτούς αριθμούς, πρέπει και αρκεί να υπάρχει φυσικός αριθμός \(ν\), ώστε:

$$α_{ν}=120 $$ $$\Leftrightarrow 3+(ν-1)\cdot 4=120 $$ $$\Leftrightarrow 3+4ν-4=120 $$ $$\Leftrightarrow 4ν=121 $$ $$\Leftrightarrow ν=\dfrac{121}{4}$$

Ο αριθμός \(\dfrac{121}{4}\) δεν είναι φυσικός και επομένως δεν μπορεί ο αριθμός \(120\) να είναι όρος της αριθμητικής προόδου.

δ) Θα βρούμε ποιος όρος της προόδου είναι ο αριθμός \(235\). Είναι:

$$α_{ν}=235 $$ $$\Leftrightarrow 3+(ν-1)\cdot 4=235 $$ $$\Leftrightarrow 3+4ν-4=235 $$ $$\Leftrightarrow 4ν=236 $$ $$\Leftrightarrow ν=59$$

Είναι:

$$S_{59}=\dfrac{(α_{1}+α_{59})\cdot 59}{2}$$ $$=\dfrac{(3+235)\cdot 59}{2}=7021$$

Το ζητούμενο άθροισμα είναι:

$$S=S_{59}-S_{40}$$ $$=7021-3240=3781$$