Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 9217 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 36675 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 01-Νοε-2023 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 36675
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 01-Νοε-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η εξίσωση \(x^{2}-4x+2-λ^{2}=0\ \ \ (1)\) με παράμετρο \(λ\in \mathbb{R}\).

α) Να αποδείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιμή του \(λ\in \mathbb{R}\), η \((1)\) έχει δύο ρίζες άνισες.
(Μονάδες 10)

β) Αν \(x_{1}\) και \(x_{2}\) είναι οι ρίζες της εξίσωσης \((1)\), τότε:

  1. Να βρείτε το \(S=x_{1}+x_{2}\).
  2. Να βρείτε το \(P=x_{1}\cdot x_{2}\) ως συνάρτηση του πραγματικού αριθμού \(λ\).

(Μονάδες 5)

γ) Αν η μία ρίζα της εξίσωσης \((1)\) είναι ο αριθμός \(2+\sqrt{3}\) τότε:

  1. να αποδείξετε ότι η άλλη ρίζα της εξίσωσης \((1)\) είναι ο αριθμός \(2-\sqrt{3}\),
  2. να βρείτε τον αριθμό \(λ\).

(Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο: \(x^{2}-4x+2-λ^{2}\) έχει \(α=1\), \(β=-4\), \(γ=2-λ^{2}\) και διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot (2-λ^{2})$$ $$=16-8+4λ^{2}$$ $$=8+4λ^{2}$$

Είναι \(Δ=8+4λ^{2}>0\) για κάθε \(λ\in \mathbb{R}\) οπότε η εξίσωση \(x^{2}-4x+2-λ^{2}=0\) έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε \(λ\in \mathbb{R}\).

β) Από τους τύπους Vieta βρίσκουμε

  1. \(S=x_{1}+x_{2}=-\dfrac{β}{α}=-\dfrac{-4}{1}=4\)

  2. \(P=x_{1}\cdot x_{2}=\dfrac{γ}{α}=\dfrac{2-λ^{2}}{1}=2-λ^{2}\)

γ) Έστω \(x_{1}=2+\sqrt{3}\) και \(x_2\) η ζητούμενη ρίζα. Τότε:

  1. Από το άθροισμα των ριζών έχουμε ότι:

$$x_{1}+x_{2}=4 $$ $$\Leftrightarrow 2+\sqrt{3}+x_{2}=4 $$ $$\Leftrightarrow x_{2}=4-2-\sqrt{3} $$ $$\Leftrightarrow x_{2}=2-\sqrt{3}$$

  1. Από το γινόμενο των ριζών έχουμε ότι:

$$x_{1}\cdot x_{2}=2-λ^{2} $$ $$\Leftrightarrow (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2-λ^{2} $$ $$\Leftrightarrow 2^{2}-\sqrt{3}^{2}=2-λ^{2} $$ $$\Leftrightarrow 4-3=2-λ^{2} $$ $$\Leftrightarrow λ^{2}=1 $$ $$\Leftrightarrow λ=\pm 1$$