Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 4924 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 36676 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 01-Νοε-2023 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 36676
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 01-Νοε-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνονται οι συναρτήσεις \(f(x)=αx-α+2\) και \(g(x)=x^{2}-α+3\) με \(α\in \mathbb{R}\).

α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της \(f\) διέρχεται από το σημείο \((1,2)\) για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού \(α\).
(Μονάδες 7)

β) Αν οι γραφικές παραστάσεις των \(f\) και \(g\) τέμνονται σε σημείο με τετμημένη \(1\), τότε:

  1. Να αποδείξετε ότι \(α=2\).
    (Μονάδες 4)

  2. Για \(α=2\) υπάρχει άλλο σημείο τομής των γραφικών παραστάσεων των \(f\) και \(g\) ; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.
    (Μονάδες 4)

γ) Να αποδείξετε ότι το πλήθος των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των \(f\) και \(g\) είναι ίδιο με το πλήθος των ριζών της εξίσωσης \(x^{2}-αx+1=0\) και στη συνέχεια ότι για \(α=3\), \(α=-2\), \(α=1\) έχουν αντίστοιχα δύο, ένα, κανένα σημεία τομής.
(Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ

α) Η γραφική παράσταση της \(f\) διέρχεται από το σημείο \(Α(1, 2)\) αν και μόνο αν \(f(1)=2\).

Είναι \(f(1)=α\cdot 1-α+2=2\) για κάθε \(α\in \mathbb{R}\), οπότε πράγματι η γραφική παράσταση της \(f\) διέρχεται από το σημείο \((1,2)\) για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού \(α\).

β) Αφού οι γραφικές παραστάσεις των \(f\) και \(g\) τέμνονται σε σημείο με τετμημένη \(1\), ισχύει ότι: \(f(1)=g(1)\).

  1. Είναι

$$f(1)=g(1) $$ $$\Leftrightarrow α-α+2=1^{2}-α+3 $$ $$\Leftrightarrow α=2$$

  1. Για \(α=2\) έχουμε \(f(x)=2x-2+2=2x\) και \(g(x)=x^{2}-2+3=x^{2}+1\)

    Η συνάρτηση \(f\) έχει πεδίο ορισμού το \(Α=R\) και η \(g\) το \(Β= \mathbb{R}\). Οι τετμημένες των κοινών σημείων των \(C_{f}\) και \(C_{g}\) είναι οι λύσεις της εξίσωσης \(f(x)=g(x)\). Είναι:

    $$f(x)=g(x) $$ $$\Leftrightarrow 2x=x^{2}+1 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-2x+1=0 $$ $$\Leftrightarrow (x-1)^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow x=1$$

    Επομένως δεν υπάρχει άλλο κοινό σημείο εκτός από αυτό με τετμημένη \(1\).

γ) Το πλήθος των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των \(f\) και \(g\) είναι ίδιο με το πλήθος των ριζών της εξίσωσης:

$$f(x)=g(x) $$ $$\Leftrightarrow αx-α+2=x^{2}-α+3 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-αx+1=0$$

Η παραπάνω εξίσωση είναι 2ου βαθμού και το πλήθος των ριζών της εξαρτάται από το πρόσημο της διακρίνουσάς της:

$$Δ=(-α)^{2}-4\cdot 1\cdot 1=α^{2}-4$$

Για \(α=3\) είναι \(Δ=3^{2}-4=9-4=5>0\) οπότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες και επομένως οι γραφικές παραστάσεις έχουν δύο κοινά σημεία.

Για \(α=-2\) είναι \(Δ=(-2)^{2}-4=4-4=0\) οπότε η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα και επομένως οι γραφικές παραστάσεις έχουν ένα κοινό σημείο.

Για \(α=1\) είναι \(Δ=1^{2}-4=1-4=-3<0\) οπότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες και επομένως οι γραφικές παραστάσεις δεν έχουν κοινά σημεία.