Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
Έναρξη από 2 Σεπτεμβρίου
Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 5011 φορές Επικοινωνία | |
---|---|---|---|---|
Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
Κωδικός Θέματος: | 36678 | Θέμα: | 4 | |
Τελευταία Ενημέρωση: | 13-Νοε-2023 | Ύλη: | 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού | |
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) |
Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
---|---|---|---|
Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
Θέμα: | 4 | ||
Κωδικός Θέματος: | 36678 | ||
Ύλη: | 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού | ||
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023 | |||
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) |
ΘΕΜΑ 4
α) Να λύσετε την ανίσωση \(x^{2}<x\) στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.
(Μονάδες 8)
β) Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός \(α\) με \(0<α<1\).
- Να βάλετε στη σειρά, από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο,τους αριθμούς:
$$0,1,α,α^{2},\sqrt{α}$$
Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας με τη βοήθεια και του ερωτήματος α).
(Mονάδες 10)
- Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα \(\sqrt{1+α}<1+\sqrt{α}\).
(Mονάδες 7)
ΛΥΣΗ
α) Είναι \(x^{2} < x \Leftrightarrow x^{2}-x < 0\).
Το πολυώνυμο \(x^{2}-x\) έχει ρίζες τις \(0\) και \(1\) αφού:
$$x^{2}-x=0 $$ $$\Leftrightarrow x(x-1)=0 $$ $$\Leftrightarrow x=0\ \text{ή}\ x=1$$
Το πρόσημο του \(x^{2}-x\) φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.
Επομένως ισχύει: \(x^{2}-x<0 \Leftrightarrow x\in (0,1)\).
β)
Αφού \(0<α<1\) με βάση το α) έχουμε ότι \(α^{2}<α\).
Επίσης \(α\ne 0\) οπότε \(α^{2}>0\).
Τέλος αφού \(0<α<1\) είναι και \(0<\sqrt{α}<1\) οπότε με βάση το α) έχουμε ότι: \(\sqrt{α}^{2}<\sqrt{α} \Rightarrow α<\sqrt{α}\).
Συνεπώς: \(0<α^{2}<α<\sqrt{α}<1\).
Ισοδύναμα βρίσκουμε:
$$\sqrt{1+α}<1+\sqrt{α} $$ $$\Leftrightarrow \sqrt{1+α}^{2}<(1+\sqrt{α})^{2} $$ $$\Leftrightarrow 1+α<1+2\sqrt{α}+α $$ $$\Leftrightarrow 0<2\sqrt{α}$$
που ισχύει για κάθε \(α>0\).