Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 3701 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 36678 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023 Ύλη: 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 36678
Ύλη: 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

α) Να λύσετε την ανίσωση \(x^{2}<x\) στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.
(Μονάδες 8)

β) Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός \(α\) με \(0<α<1\).

  1. Να βάλετε στη σειρά, από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο,τους αριθμούς:

$$0,1,α,α^{2},\sqrt{α}$$

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας με τη βοήθεια και του ερωτήματος α).
(Mονάδες 10)

  1. Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα \(\sqrt{1+α}<1+\sqrt{α}\).
    (Mονάδες 7)
ΛΥΣΗ

α) Είναι \(x^{2} < x \Leftrightarrow x^{2}-x < 0\).

Το πολυώνυμο \(x^{2}-x\) έχει ρίζες τις \(0\) και \(1\) αφού:

$$x^{2}-x=0 $$ $$\Leftrightarrow x(x-1)=0 $$ $$\Leftrightarrow x=0\ \text{ή}\ x=1$$

Το πρόσημο του \(x^{2}-x\) φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Επομένως ισχύει: \(x^{2}-x<0 \Leftrightarrow x\in (0,1)\).

β)

  1. Αφού \(0<α<1\) με βάση το α) έχουμε ότι \(α^{2}<α\).

    Επίσης \(α\ne 0\) οπότε \(α^{2}>0\).

    Τέλος αφού \(0<α<1\) είναι και \(0<\sqrt{α}<1\) οπότε με βάση το α) έχουμε ότι: \(\sqrt{α}^{2}<\sqrt{α} \Rightarrow α<\sqrt{α}\).

    Συνεπώς: \(0<α^{2}<α<\sqrt{α}<1\).

  2. Ισοδύναμα βρίσκουμε:

    $$\sqrt{1+α}<1+\sqrt{α} $$ $$\Leftrightarrow \sqrt{1+α}^{2}<(1+\sqrt{α})^{2} $$ $$\Leftrightarrow 1+α<1+2\sqrt{α}+α $$ $$\Leftrightarrow 0<2\sqrt{α}$$

    που ισχύει για κάθε \(α>0\).