Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 5000 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 36680 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023 Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 36680
Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνονται οι συναρτήσεις:

$$ \begin{cases} f(x)=x^{2}-4x+α \\ g(x)=αx-5 \end{cases},\ \ \text{με}\ α\in \mathbb{R}$$

α) Αν ισχύει \(f(2)=g(2)\), να βρείτε την τιμή του \(α\).
(Μονάδες 7)

β) Για \(α=1\),

  1. να λύσετε την εξίσωση: \(f(x)=g(x)\).
    (Μονάδες 8)

  2. να λύσετε την ανίσωση: \(f(x)\ge g(x)\) και, με τη βοήθεια αυτής, να λύσετε την εξίσωση: \(|f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)\).
    (Μονάδες 5 + 5 = 10)

ΛΥΣΗ

α) Αφού \(f(2)=g(2)\) έχουμε ισοδύναμα

$$f(2)=g(2) $$ $$\Leftrightarrow 2^{2}-4\cdot 2+α=α\cdot 2-5 $$ $$\Leftrightarrow 4-8+α=2α-5 $$ $$\Leftrightarrow α-2α=-4+8-5 $$ $$\Leftrightarrow -α=-1 $$ $$\Leftrightarrow α=1$$

β) Για \(α=1\) έχουμε \(f(x)=x^{2}-4x+1\) και \(g(x)=x-5\).

  1. Η εξίσωση: \(f(x)=g(x)\) γίνεται ισοδύναμα

    $$x^{2}-4x+1=x-5 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-4x+1-x+5=0 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-5x+6=0$$

    Το τριώνυμο \(x^{2}-5x+6\) έχει διακρίνουσα:

    $$Δ=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6$$ $$=25-24=1>0$$

    και ρίζες τις:

    $$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{1}}{2\cdot 1}=\dfrac{5\pm 1}{2} $$ $$\Rightarrow \begin{cases} x_{1} = \dfrac{5+1}{2} = \dfrac{6}{2} =3 \\ x_{2} = \dfrac{5-1}{2} = \dfrac{4}{2} =2 \end{cases}$$

  2. Η ανίσωση: \(f(x)\ge g(x)\) γίνεται ισοδύναμα

    $$x^{2}-4x+1\ge x-5 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-4x+1-x+5\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-5x+6\ge 0$$

    Το τριώνυμο \(x^{2}-5x+6\) έχει ρίζες τις \(x_{1}=3\) και \(x_{2}=2\) και το πρόσημο του φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

    Από τον παραπάνω πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:

    $$x^{2}-5x+6\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow x\in (-\infty ,2]\cup [3,+\infty)$$

    Από τη ιδιότητα \(|α|=α \Leftrightarrow α\ge 0\) έχουμε ότι:

    $$|f(x)-g(x)|=f(x)-g(x) $$ $$\Leftrightarrow f(x)-g(x)\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow x\in (-\infty ,2]\cup [3,+\infty)$$