Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 6641 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 36682 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 20-Μαΐ-2023 Ύλη: 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 36682
Ύλη: 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β
Τελευταία Ενημέρωση: 20-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνονται η συνάρτηση \(f(x)=x^{2}+x+1\), \(x\in \mathbb{R}\).

α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση \(C_{f}\) της συνάρτησης \(f\) δεν τέμνει τον άξονα \(x'x\).
(Μονάδες 5)

β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της \(C_{f}\) που βρίσκονται κάτω από την ευθεία \(y=2x+3\).
(Μονάδες 10)

γ) Έστω \(Μ(x,y)\) σημείο της \(C_{f}\). Αν για την τετμημένη \(x\) του σημείου \(Μ\) ισχύει: \(|2x-1|<3\), τότε να δείξετε ότι το σημείο αυτό βρίσκεται κάτω από την ευθεία \(y=2x+3\).
(Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο \(x^{2}+x+1\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=1^{2}-4\cdot 1\cdot 1$$ $$=1-4=-3<0$$

οπότε για κάθε \(x\in \mathbb{R}\) είναι ομόσημο του συντελεστή του \(x^{2}\), δηλαδή του \(α=1>0\).

Επομένως για κάθε \(x\in \mathbb{R}\) ισχύει ότι:

$$x^{2}+x+1>0 $$ $$\Leftrightarrow f(x)>0$$

που σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της \(f\) βρίσκεται ολόκληρη πάνω από τον άξονα \(x'x\) και άρα δεν τέμνει τον \(x'x\).

β) Οι τετμημένες των σημείων της \(C_{f}\) που βρίσκονται κάτω από την ευθεία \(y=2x+3\) είναι οι λύσεις της ανίσωσης:

$$f(x)<2x+3 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+x+1<2x+3 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-x-2<0$$

Το τριώνυμο \(x^{2}-x-2\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (-2)$$ $$=1+8=9>0$$

και ρίζες τις:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{9}}{2\cdot 1}$$ $$=\dfrac{1\pm 3}{2} $$ $$\Rightarrow \begin{cases} x_{1} = \dfrac{1+3}{2} = \dfrac{4}{2} =2 \\ \\ x_{2} = \dfrac{1-3}{2} = \dfrac{-2}{2} = - 1 \end{cases}$$

Το πρόσημο του τριωνύμου \(x^{2}-x-2\) φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Συνεπώς:

$$x^{2}-x-2<0 $$ $$\Leftrightarrow x\in (-1,2)$$

γ) Αφού \(|2x-1|<3\), έχουμε ισοδύναμα ότι:

$$|2x-1|<3 $$ $$\Leftrightarrow -3<2x-1<3 $$ $$\Leftrightarrow -3+1<2x-1+1<3+1 $$ $$\Leftrightarrow -2 < 2x < 4 $$ $$\Leftrightarrow -1 < x < 2$$

Αφού για την τετμημένη \(x\) του σημείου \(Μ\) ισχύει \(-1 < x < 2\) τότε, όπως δείξαμε στο ερώτημα β), το σημείο αυτό βρίσκεται κάτω από την ευθεία \(y=2x+3\).