Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 3501 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 36683 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 20-Μαΐ-2023 Ύλη: 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 36683
Ύλη: 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β
Τελευταία Ενημέρωση: 20-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η συνάρτηση \(f\), με:

$$f(x)=\begin{cases} - x+2,\ \ \text{αν}\ \ x < 0 \\ x+2,\ \ \text{αν}\ \ x \ge 0 \end{cases}$$

α) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης \(C_{f}\) της \(f\) με τον άξονα \(y'y\).
(Μονάδες 3)

β)
i) Να χαράξετε τη \(C_{f}\) και την ευθεία \(y=3\), και στη συνέχεια να εκτιμήσετε τις συντεταγμένες των σημείων τομής τους.
(Μονάδες 5)

ii) Nα εξετάσετε αν τα σημεία αυτά είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα \(y'y\). Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 4)

γ)
i) Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού \(α\), η ευθεία \(y=α\) τέμνει τη \(C_{f}\) σε δυο σημεία; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 5)

ii) Για τις τιμές του \(α\) που βρήκατε στο ερώτημα (γi), να προσδιορίσετε αλγεβρικά τα σημεία τομής της \(C_{f}\) με την ευθεία \(y=α\) και να εξετάσετε αν ισχύουν τα συμπεράσματα του ερωτήματος (βii), αιτιολογώντας τον ισχυρισμό σας.
(Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ

α) Αντικαθιστούμε στον τύπο της \(f\), και συγκεκριμένα στον κλάδο \(x+2\) όπου \(x=0\) και βρίσκουμε: \(f(0)=0+2=2\).

Άρα η \(C_{f}\) τέμνει τον άξονα \(y'y\) στο σημείο \(Μ(0,2)\).

β)
i)
Για \(x=-1\) είναι: \(f(-1)=-(-1)+2=1+2=3\).
Για \(x=-2\) είναι: \(f(-2)=-(-2)+2=2+2=4\).
Άρα η ημιευθεία \(y=-x+2\) διέρχεται από τα σημεία \(Α(-1,3)\) και \(Β(-2,4)\).

Για \(x=1\) είναι: \(f(1)=1+2=3\).
Για \(x=2\) είναι: \(f(2)=2+2=4\).
Άρα η ημιευθεία \(y=x+2\) διέρχεται από τα σημεία \(Γ(1,3)\) και \(Δ(2,4)\).

Η ευθεία \(y=3\) είναι μια ευθεία παράλληλη στον άξονα \(x'x\) και διέρχεται από το σημείο \(Ε(0,3)\).

Η γραφική παράσταση \(C_{f}\) και η ευθεία \(y=3\) φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.

Από τη γραφική παράσταση διαπιστώνουμε ότι τα σημεία τομής της \(C_{f}\) με την ευθεία \(y=3\) είναι τα \(Α(-1,3)\) και \(Γ(1,3)\).

ii) Τα σημεία \(Α(-1,3)\) και \(Γ(1,3)\) έχουν αντίθετες τετμημένες και ίσες τεταγμένες. Άρα είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα \(y'y\).

γ)
i) Η ευθεία \(y=α\) είναι μια ευθεία παράλληλη στον άξονα \(x'x\) και διέρχεται από το σημείο \((0,α)\). Όπως διαπιστώνουμε και από τα παρακάτω σχήματα, η ευθεία \(y=α\) τέμνει τη \(C_{f}\) σε δύο σημεία αν καιμόνο αν \(α>2\).

ii) Ο τύπος της \(f\) γράφεται: \(f(x)=|x|+2\), \(x\in \mathbb{R}\).

Οι τετμημένες των σημείων τομής της \(C_{f}\) με την ευθεία \(y=α\) είναι οι λύσεις της εξίσωσης:

$$f(x)=α $$ $$\Leftrightarrow |x|+2=α $$ $$\Leftrightarrow |x|=α-2$$

Αν \(α<2 \Leftrightarrow α-2 < 0\) η εξίσωση \(|x|=α-2\) είναι αδύνατη και επομένως η \(C_{f}\) με την ευθεία \(y=α\) δεν έχουν κοινά σημεία, όπως φαίνεται και στο τελευταίο σχήμα.

Αν \(α=2\) η εξίσωση \(|x|=α-2 \Leftrightarrow |x|=0 \Leftrightarrow x=0\) και επομένως η \(C_{f}\) με την ευθεία \(y=2\) έχουν ένα κοινό σημείο το \((0,2)\) όπως φαίνεται και στο προτελευταίο σχήμα.

Αν \(α>2\) η εξίσωση \(|x|=α-2 \Leftrightarrow x=α-2\) ή \(x=-α+2\) δηλαδή δύο λύσεις διαφορετικές και επομένως η \(C_{f}\) με την ευθεία \(y=α\) έχουν δύο κοινά σημεία τα \((α-2, α)\) και \((-α+2, α)\) όπως φαίνεται και στα δύο πρώτα σχήματα.