Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 4600 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 36894 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 19-Μαΐ-2023 Ύλη: 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 36894
Ύλη: 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 19-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 2

α) Αν \(α<0\), να δείξετε ότι: \(α+\dfrac{1}{α}\le -2\).
(Μονάδες 15)

β) Αν \(α<0\), να δείξετε ότι: \(|α|+\left|\dfrac{1}{α}\right|\ge 2\).
(Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε ισοδύναμα:

$$α+\dfrac{1}{α}\le -2$$ $$\overset{α<0}{ \Leftrightarrow } α^{2}+α\cdot \dfrac{1}{α}\ge -2α$$ $$\Leftrightarrow α^{2}+1+2α\ge 0$$ $$\Leftrightarrow (α+1)^{2}\ge 0\text{ , που ισχύει.}$$

β) Έχουμε ισοδύναμα:

$$|α|+\left|\dfrac{1}{α}\right|\ge 2$$ $$\overset{α<0}{ \Leftrightarrow } -α-\dfrac{1}{α}\ge 2$$ $$\Leftrightarrow α+\dfrac{1}{α}\le -2$$

που από το α) ερώτημα ισχύει για κάθε \(α<0\).