Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 5118 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 36898 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 19-Μαΐ-2023 Ύλη: 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 36898
Ύλη: 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 19-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 2

α) Αν \(α,β\in \mathbb{R}-\{0\}\), να δείξετε ότι:

$$\left|\dfrac{α}{β}\right|+\left|\dfrac{β}{α}\right|\ge 2\ \ \ \ (1)$$

(Μονάδες 15)

β) Πότε ισχύει η ισότητα στην \((1)\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε ισοδύναμα:

$$\left|\dfrac{α}{β}\right|+\left|\dfrac{β}{α}\right|\ge 2$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{|α|}{|β|}+\dfrac{|β|}{|α|}\ge 2$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{|α|^{2}+|β|^{2}}{|α|\cdot |β|}\ge 2$$ $$\Leftrightarrow |α|^{2}+|β|^{2}\ge 2|α|\cdot |β|$$ $$\Leftrightarrow |α|^{2}+|β|^{2}-2|α|\cdot |β|\ge 0$$ $$\Leftrightarrow (|α|-|β|)^{2}\ge 0\ \ \ \text{που ισχύει}$$

β) Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν:

$$|α|-|β|=0 $$ $$\Leftrightarrow |α|=|β|$$

δηλαδή αν και μόνο αν \(α=β\) ή \(α=-β\) (δηλαδή όταν οι αριθμοί \(α\), \(β\) είναι ίσοι ή αντίθετοι).