Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 6054 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 36899 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 18-Μαΐ-2023 Ύλη: 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 36899
Ύλη: 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών
Τελευταία Ενημέρωση: 18-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 2

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί \(α\), \(β\) με \(α > 0\) και \(β > 0\). Να δείξετε ότι:

α) \(α+\dfrac{4}{α}\ge 4\).
(Μονάδες 12)

β) \(\left(α+\dfrac{4}{α}\right)\left(β+\dfrac{4}{β}\right)\ge 16\).
(Μονάδες 13)

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε ισοδύναμα:

$$α+\dfrac{4}{α}\ge 4$$ $$\overset{α>0}{ \Leftrightarrow } α^{2}+α\cdot \dfrac{4}{α}\ge 4α$$

οπότε:

$$α^{2}+4\ge 4α$$

δηλαδή:

$$α^{2}-4α+4\ge 0$$

και τελικά:

$$(α-2)^{2}\ge 0$$

που ισχύει.

β) Από το α) ερώτημα έχουμε ότι \(α+\dfrac{4}{α}\ge 4\) και ομοίως \(β+\dfrac{4}{β}\ge 4\). Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις δυο ανισότητες προκύπτει:

$$\left(α+\dfrac{4}{α}\right)\left(β+\dfrac{4}{β}\right)\ge 16$$