Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 9517 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 37015 | Θέμα: | 2 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 01-Αυγ-2024 | Ύλη: | 5.2. Παραλληλόγραμμα | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 2 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 37015 | ||
| Ύλη: | 5.2. Παραλληλόγραμμα | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 01-Αυγ-2024 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(ΑΒ < ΑΓ\) και \(Μ\) το μέσο της \(ΒΓ\). Προεκτείνουμε τη διάμεσο \(ΑΜ\) κατά τμήμα \(ΜΔ = ΜΑ\). Από το \(Α\) φέρουμε παράλληλη προς τη \(ΒΓ\) η οποία τέμνει την προέκταση της \(ΔΓ\) στο σημείο \(Ε\).
Να αποδείξετε ότι:
α) το τετράπλευρο \(ΑΒΔΓ\) είναι παραλληλόγραμμο, (Μονάδες 12)
β) \(BM = \dfrac{AE}{2}\). (Μονάδες 13)
ΛΥΣΗ
Έστω τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(ΑΒ < ΑΓ\), \(Μ\) μέσο της \(ΒΓ\), \(Δ\) σημείο στην προέκταση της \(ΑΜ\) προς το \(Μ\) τέτοιο ώστε \(ΜΔ = ΜΑ\), \(Ε\) το σημείο τομής της \(ΔΓ\) με ευθεία που διέρχεται από το \(Α\) και είναι παράλληλη στη \(ΒΓ\).
α) Φέρνουμε το τμήμα \(ΒΔ\). Επειδή έχουμε \(ΜΓ = ΒΜ\) αφού το \(Μ\) είναι το μέσο της πλευράς \(ΒΓ\) και \(ΜΑ = ΜΔ\) από την υπόθεση, τότε το τετράπλευρο \(ΑΒΔΓ\) είναι παραλληλόγραμμο γιατί οι διαγώνιοί του \(ΑΔ\) και \(ΒΓ\) διχοτομούνται.
β) Έχουμε ότι η ευθεία \(ΑΕ\) είναι παράλληλη στην \(ΒΓ\), οπότε και τα τμήματα \(ΑΕ\) και \(ΒΓ\) είναι παράλληλα.
Από το α) ερώτημα έχουμε ότι το \(ΑΒΔΓ\) είναι παραλληλόγραμμο, οπότε οι απέναντι πλευρές του \(ΑΒ\) και \(ΓΔ\) είναι παράλληλες. Άρα και τα τμήματα \(ΑΒ\) και \(ΓΕ\) είναι παράλληλα.
Συνεπώς, το τετράπλευρο \(ΑΒΓΕ\) είναι παραλληλόγραμμο γιατί έχει τις απέναντι πλευρές τους παράλληλες.
Επειδή \(ΑΕ = ΒΓ\), ως απέναντι πλευρές του παραλληλογράμμου \(ΑΒΓΕ\), ισχύει ότι
$$BM = \frac{BΓ}{2} = \frac{AE}{2}$$