ΛΥΣΗ

α)

i. Είναι \(ΑΓ = ΟΓ = ΓΔ\) και \(ΓΔ = ΔΒ = ΟΔ\), οπότε \(ΟΓ = ΓΔ = ΟΔ\). Άρα το τρίγωνο \(ΟΓΔ\) είναι ισόπλευρο και οι γωνίες του είναι ίσες με \(60^{\circ}\). Άρα \(\widehat{Γ OΔ} = 60^{\circ}\).

ii. Επειδή \(ΟΓ = ΑΓ\), το τρίγωνο \(ΟΑΓ\) είναι ισοσκελές οπότε \(\hat{A}_1 = \hat{O}_1\).

Η γωνία \(\widehat{OΓΔ}\) είναι εξωτερική στο τρίγωνο \(ΟΓΑ\), οπότε:

$$\widehat{OΓΔ} = \hat{A}_1 + \hat{O}_1 \text{ ή } 60^{\circ} = 2\hat{A}_1 \text{ ή } \hat{A}_1 = 30^{\circ}$$

Η γωνία \(\widehat{OΔ B}\) είναι εξωτερική στο τρίγωνο \(ΟΓΑ\), άρα:

$$\widehat{OΔ B} = \hat{O}_2 + \hat{B}_1 \text{ ή } 60^{\circ} = 2\hat{B}_1 \text{ ή } \hat{B}_1 = 30^{\circ}$$

β) Είναι \(\hat{A}_1 = \hat{B}_1 = 30^{\circ}\), άρα το τρίγωνο \(ΟΑΒ\) είναι ισοσκελές.

Η διάμεσος \(ΟΜ\) του ισοσκελούς τριγώνου \(ΟΑΒ\) είναι και ύψος του, δηλαδή \(ΟΜ ⊥ ΑΒ\).

Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΟΜΑ\) είναι \(\hat{A}_1 = 30^{\circ}\), άρα για την απέναντί της κάθετη πλευρά \(ΟΜ\) ισχύει:

$$OM = \frac{OA}{2} \text{ ή } 2OM = OA$$