ΛΥΣΗ

Τα τμήματα \(ΒΔ\) και \(ΓΕ\) είναι ύψη του τριγώνου \(ΑΒΓ\), άρα \(ΒΔ \perp ΑΒ\) και \(ΓΕ \perp ΑΓ\), επομένως \(\widehat{ΒΕΓ} = \widehat{ΒΔΓ} = 90^{\circ}\).

α)

i.

Στα ορθογώνια τρίγωνα \(ΒΕΓ\) και \(ΒΔΓ\) τα τμήματα \(ΜΕ\), \(ΜΔ\) είναι διάμεσοι που αντιστοιχούν στην κοινή υποτείνουσα \(ΒΓ\) των δύο τριγώνων. Οπότε \(ΜΔ = \dfrac{ΒΓ}{2}\) και \(ΜΕ = \dfrac{ΒΓ}{2}\), άρα \(ΜΔ=ΜΕ\).

ii.

Επειδή τα δυο ύψη \(ΒΔ\) και \(ΓΕ\) του τριγώνου \(ΑΒΓ\) τέμνονται στο \(Η\), το \(Η\) είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου. Οπότε το τμήμα \(ΑΗ\) προεκτεινόμενο προς το μέρος του \(Η\) θα τέμνει τη \(ΒΓ\) σε σημείο \(Ζ\) και το τμήμα \(ΑΖ\) είναι το τρίτο ύψος του τριγώνου. Άρα η \(ΑΗ\) τέμνει κάθετα τη \(ΒΓ\).

Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΗΔ\) για τις οξείες γωνίες του ισχύει ότι:

$$\widehat{ΑΗΔ} + \widehat{ΗΑΔ} = 90^{\circ} \quad \text{ή} \quad \widehat{ΑΗΔ} = 90^{\circ} - \widehat{ΗΑΔ} \quad (1)$$

Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΖΓ\) για τις οξείες γωνίες του ισχύει ότι:

$$\widehat{Γ} + \widehat{ΖΑΓ} = 90^{\circ} \quad \text{ή} \quad \widehat{Γ} = 90^{\circ} - \widehat{ΖΑΓ} \quad \text{ή} \quad \widehat{Γ} = 90^{\circ} - \widehat{ΗΑΔ} \quad (2)$$

Από τις \((1)\), \((2)\) βρίσκουμε \(\widehat{ΑΗΔ} = \widehat{Γ}\).

β)

Στο τρίγωνο \(ΑΒΗ\) το ύψος στην \(ΑΒ\) είναι το \(ΗΕ\) και το ύψος στην \(ΒΗ\) είναι το \(ΑΔ\) οι φορείς των οποίων τέμνονται στο \(Γ\). Άρα το σημείο \(Γ\) είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου \(ΑΒΗ\).