Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 5454 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 37088 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 01-Αυγ-2024 | Ύλη: | 3.14. Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου 3.16. Σχετικές θέσεις δυο κύκλων 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.3. Ορθογώνιο 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 37088 | ||
| Ύλη: | 3.14. Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου 3.16. Σχετικές θέσεις δυο κύκλων 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.3. Ορθογώνιο 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 01-Αυγ-2024 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Οι κύκλοι \((Κ, ρ)\) και \((Λ, 3ρ)\) εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο \(Α\). Μία ευθεία \((ε)\) εφάπτεται εξωτερικά και στους δύο κύκλους στα σημεία \(Β\) και \(Γ\) αντίστοιχα και τέμνει την προέκταση της διακέντρου \(ΚΛ\) (προς το \(Κ\)) στο σημείο \(Ε\). Φέρουμε από το σημείο \(Κ\) παράλληλο τμήμα στην \((ε)\) που τέμνει το τμήμα \(ΛΓ\) στο \(Δ\).
Να αποδείξετε ότι:
α) το τετράπλευρο \(ΒΓΔΚ\) είναι ορθογώνιο, (Μονάδες 9)
β) η γωνία \(ΔΚΛ\) είναι \(30^{\circ}\), (Μονάδες 8)
γ) το τμήμα \(ΕΛ=6ρ\), όπου \(ρ\) η ακτίνα του κύκλου \((Κ, ρ)\). (Μονάδες 8)
ΛΥΣΗ
α) Οι ακτίνες \(ΚΒ\) και \(ΛΓ\) είναι κάθετες στην εφαπτομένη \((ε)\), άρα \(ΚΒ//ΛΓ\). Επίσης \(ΚΔ//ΒΓ\) από υπόθεση οπότε το \(ΒΓΔΚ\) έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες, οπότε είναι παραλληλόγραμμο. Επειδή \(\widehat{ΚΒΓ} = 90^{\circ}\), τελικά το \(ΒΓΔΚ\) είναι ορθογώνιο.
β) Από το ορθογώνιο \(ΒΓΔΚ\) έχουμε ότι \(ΒΚ=ΓΔ=ρ\).
Επίσης \(ΔΛ=ΓΛ-ΓΔ=3ρ-ρ=2ρ\) και \(ΚΛ=ΚΑ+ΑΛ=ρ+3ρ=4ρ\) (διάκεντρος κύκλων που εφάπτονται εξωτερικά).
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΚΔΛ\) η κάθετη πλευρά \(ΔΛ\) είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας \(ΚΛ\), οπότε η γωνία που βρίσκεται απέναντι από αυτή την πλευρά είναι γωνία \(30^{\circ}\), δηλαδή \(\widehat{ΔΚΛ} = 30^{\circ}\).
γ) Είναι \(\widehat{Ε} = \widehat{ΔΚΛ} = 30^{\circ}\), ως εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων \(ΚΔ//ΕΓ\) που τέμνονται από την \(ΕΛ\). Τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΕΓΛ\) για την πλευρά \(ΓΛ\) που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία των \(30^{\circ}\) θα ισχύει ότι \(ΓΛ = \dfrac{ΕΛ}{2}\), οπότε \(ΕΛ = 2ΓΛ = 2 \cdot 3ρ = 6ρ\).
