ΛΥΣΗ

α) Έστω ισοσκελές τρίγωνο \(ΑΒΓ\) και \(Δ\), \(Ε\), \(Ζ\) τα μέσα των πλευρών του \(ΑΒ\), \(ΒΓ\), \(ΑΓ\) αντίστοιχα.

Το \(ΔΕ\) ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου \(ΑΒΓ\), άρα \(ΔΕ = \frac{ΑΓ}{2}\) \((1)\)

Το \(ΕΖ\) ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου \(ΑΒΓ\), άρα \(ΕΖ = \frac{ΑΒ}{2}\) \((2)\)

Επειδή \(ΑΒ=ΑΓ\) από \((1)\) και \((2)\) προκύπτει ότι \(ΔΕ=ΕΖ\), δηλαδή το τρίγωνο \(ΔΕΖ\) είναι ισοσκελές.

β)

i. Πρόταση: «Το τρίγωνο με κορυφές τα μέσα των πλευρών ισοπλεύρου τριγώνου είναι ισόπλευρο».

Έστω ισόπλευρο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(ΑΒ = ΒΓ = ΑΓ\) και \(Δ\), \(Ε\), \(Ζ\) τα μέσα των ίσων πλευρών του \(ΑΒ\), \(ΒΓ\) και \(ΑΓ\) αντίστοιχα.

Όπως στο α) ερώτημα, για τους ίδιους λόγους θα ισχύει \(ΔΕ = \frac{ΑΓ}{2}\) \((1)\) και \(ΕΖ = \frac{ΑΒ}{2}\) \((2)\).

Επειδή το \(ΔΖ\) ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου \(ΑΒΓ\), ισχύει ότι \(ΔΖ = \frac{ΒΓ}{2}\) \((3)\)

Επειδή \(ΑΒ=ΒΓ=ΑΓ\) από \((1)\), \((2)\) και \((3)\) προκύπτει ότι \(ΔΕ=ΕΖ=ΖΔ\), οπότε το τρίγωνο \(ΔΕΖ\) είναι ισόπλευρο.

ii. Πρόταση: «Το τρίγωνο με κορυφές τα μέσα των πλευρών ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου είναι ορθογώνιο και ισοσκελές».

Έστω ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(\widehat{Α} = 90^{\circ}\), \(ΑΒ = ΑΓ\) και \(Δ\), \(Ε\), και \(Ζ\) τα μέσα των πλευρών \(ΑΒ\), \(ΒΓ\) και \(ΑΓ\) αντίστοιχα.

Επειδή \(ΔΕ\parallel ΑΓ\), \(ΖΕ\parallel ΑΒ\) (ευθύγραμμα τμήματα που ενώνουν τα μέσα 2 πλευρών ενός τριγώνου) και \(ΑΒ\perp ΑΓ\) θα είναι και \(ΔΕ\perp ΖΕ\), άρα το τρίγωνο \(ΔΕΖ\) είναι ορθογώνιο με \(\widehat{Ε} = 90^{\circ}\).

Όπως στο α) ερώτημα, για τους ίδιους λόγους θα ισχύει \(ΕΔ = \frac{ΑΓ}{2}\) και \(ΕΖ = \frac{ΑΒ}{2}\) και επειδή είναι \(ΑΒ = ΑΓ\), θα είναι \(ΕΔ = ΕΖ\).

Άρα το τρίγωνο \(ΔΕΖ\) είναι και ισοσκελές.