Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 5417 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 37098 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 01-Αυγ-2024 | Ύλη: | 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.3. Ορθογώνιο 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.10. Τραπέζιο | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 37098 | ||
| Ύλη: | 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.3. Ορθογώνιο 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.10. Τραπέζιο | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 01-Αυγ-2024 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Σε μια ευθεία \((ε)\) θεωρούμε διαδοχικά τα σημεία \(Α\), \(Β\), \(Γ\) έτσι ώστε \(ΑΒ = 2·ΒΓ\) και στο ίδιο ημιεπίπεδο θεωρούμε ισόπλευρα τρίγωνα \(ΑΒΔ\) και \(ΒΓΕ\). Αν \(Η\) είναι το μέσο του \(ΑΔ\) και η ευθεία \(ΔΕ\) τέμνει την ευθεία \((ε)\) στο σημείο \(Ζ\) να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο \(ΒΗΔΕ\) είναι ορθογώνιο.
(Μονάδες 8)
β) Το τρίγωνο \(ΓΖΕ\) είναι ισοσκελές.
(Μονάδες 8)
γ) Το τετράπλευρο \(ΗΕΓΑ\) είναι ισοσκελές τραπέζιο.
(Μονάδες 9)
ΛΥΣΗ
α) Επειδή τα τρίγωνα \(ΑΒΔ\) και \(ΒΓΕ\) είναι ισόπλευρα, ισχύει ότι \(\widehat{ΔΑΒ} = \widehat{ΕΒΓ} = 60^{\circ}\). Άρα οι ευθείες \(ΑΔ\) και \(ΒΕ\), που τέμνονται από την \(ΑΖ\) έχουν δύο εντός εκτός και επί τα αυτά γωνίες ίσες. Συνεπώς είναι παράλληλες. Άρα \(ΔΗ \parallel ΒΕ\).
Επίσης, \(ΔΗ = \frac{ΑΔ}{2}\), επειδή το \(Η\) είναι μέσο του \(ΑΔ\) από την υπόθεση.
Όμως \(ΑΔ = ΑΒ\), ως πλευρές του ισοπλεύρου τριγώνου \(ΑΒΔ\). Άρα \(ΔΗ = \frac{ΑΒ}{2}\).
Αλλά από την υπόθεση έχουμε και ότι \(ΒΓ = \frac{ΑΒ}{2}\). Άρα, \(ΔΗ = ΒΓ\).
Όμως \(ΒΕ = ΒΓ\), ως πλευρές του ισοπλεύρου \(ΒΓΕ\). Άρα, \(ΔΗ = ΒΕ\).
Τελικά το τετράπλευρο \(ΒΗΔΕ\) έχει \(ΔΗ \parallel ΒΕ\) και \(ΔΗ = ΒΕ\), δηλαδή δύο πλευρές παράλληλες και ίσες. Επομένως είναι παραλληλόγραμμο.
Επιπλέον, στο ισόπλευρο τρίγωνο \(ΑΒΔ\) το \(ΒΗ\) είναι διάμεσος, άρα και ύψος, οπότε η γωνία \(\widehat{ΒΗΔ}\) είναι ορθή. Άρα, το παραλληλόγραμμο \(ΒΗΔΕ\) έχει μία ορθή γωνία, επομένως είναι ορθογώνιο.
β) Λόγω του ορθογωνίου \(ΒΗΔΕ\) είναι \(ΒΗ \parallel ΔΕ\). Άρα, στο τρίγωνο \(ΑΔΖ\), η \(ΗΒ\) διέρχεται από το μέσο \(Η\) της πλευράς \(ΑΔ\) και είναι παράλληλη στην \(ΔΖ\). Επομένως, θα διέρχεται από το μέσο της \(ΑΖ\), άρα το \(Β\) είναι μέσο της \(ΑΖ\).
Άρα, \(ΑΒ = ΒΖ\).
Όμως \(ΑΒ = 2ΒΓ\) από την υπόθεση, άρα \(ΒΖ = 2ΒΓ\), δηλαδή το \(Γ\) είναι μέσο της \(ΒΖ\).
Επομένως \(ΒΓ = ΓΖ\).
Όμως από το ισόπλευρο τρίγωνο \(ΒΓΕ\) είναι \(ΒΓ = ΓΕ\). Άρα \(ΓΕ = ΓΖ\), δηλαδή το \(ΓΖΕ\) είναι ισοσκελές.
γ) Προκύπτει ότι το \(Ε\) είναι μέσο της \(ΔΖ\): Πράγματι, στο τρίγωνο \(ΑΔΖ\), το \(ΒΕ\) διέρχεται από το μέσο \(Β\) της \(ΑΖ\) και είναι παράλληλο στην \(ΑΔ\). Άρα, θα διέρχεται από το μέσο της \(ΔΖ\).
Παραμένοντας στο τρίγωνο \(ΑΔΖ\), ισχύει ότι τα \(Η\) και \(Ε\) είναι μέσα των πλευρών \(ΑΔ\) και \(ΔΖ\), αντίστοιχα. Άρα, η \(ΕΗ\) είναι παράλληλη στην \(ΑΖ\) (ή αλλιώς στην \(ΑΓ\)).
Επίσης, \(\widehat{ΗΑΒ} = \widehat{ΕΓΒ} = 60^{\circ}\), λόγω των ισοπλεύρων τριγώνων \(ΑΒΔ\) και \(ΒΓΕ\).
Άρα:
- Εφόσον \(\widehat{ΗΑΒ} + \widehat{ΕΓΒ} < 180^{\circ}\), οι ευθείες \(ΑΗ\) και \(ΓΕ\) τέμνονται στο ημιεπίπεδο που χωρίζεται από το \(ΑΖ\) και προς το μέρος του \(Δ\) και άρα δεν είναι παράλληλες. Αυτό σημαίνει ότι λόγω της παραλληλίας των \(ΕΗ\) και \(ΑΓ\) το \(ΗΕΓΑ\) είναι τραπέζιο.
- Επειδή οι γωνίες της βάσης του \(ΗΕΓΑ\) είναι ίσες, αυτό είναι ισοσκελές τραπέζιο.