ΛΥΣΗ

α) Τα τρίγωνα \(ΑΓΔ\) και \(ΒΓΔ\) έχουν:

• \(ΓΔ\) κοινή πλευρά
• \(ΑΔ = ΒΓ\), από υπόθεση
• \(ΑΓ = ΒΔ\), από υπόθεση

Τα τρίγωνα \(ΑΓΔ\) και \(ΒΓΔ\) έχουν τις τρεις πλευρές τους ίσες μία προς μία άρα είναι ίσα οπότε:

\(\widehat{ΑΓΔ} = \widehat{ΒΔΓ}\) αφού είναι απέναντι από τις ίσες πλευρές \(ΑΔ\) και \(ΒΓ\). Άρα το τρίγωνο \(ΟΓΔ\) είναι ισοσκελές με \(ΟΓ = ΟΔ\) \((1)\).

Ισχύει ακόμη ότι: \(ΑΓ = ΒΔ\) ή \(ΟΓ + ΟΑ = ΟΒ + ΟΔ\) ή \(ΟΑ = ΟΒ\) (λόγω της 1)).

Επομένως και το τρίγωνο \(ΟΑΒ\) είναι ισοσκελές.

β) Στο τρίγωνο \(ΑΒΟ\), επειδή \(ΟΑ=ΟΒ\) από το (α) ερώτημα, οι γωνίες \(\widehat{ΓΑΒ}\), \(\widehat{ΑΒΔ}\) είναι ίσες.

Από την ισότητα των τριγώνων \(ΑΓΔ\) και \(ΒΓΔ\), οι γωνίες \(\widehat{ΔΑΓ}\) και \(\widehat{ΔΒΓ}\) είναι ίσες αφού είναι απέναντι από την κοινή πλευρά \(ΓΔ\).

Άρα \(\widehat{ΔΑΒ} = \widehat{ΔΑΓ} + \widehat{ΓΑΒ} = \widehat{ΔΒΓ} + \widehat{ΑΒΔ} = \widehat{ΑΒΓ}\)

γ) Από την ισότητα των τριγώνων \(ΑΓΔ\) και \(ΒΓΔ\), οι γωνίες \(\widehat{ΑΔΓ}\) και \(\widehat{ΒΓΔ}\) είναι ίσες, αφού είναι απέναντι από τις ίσες πλευρές \(ΑΓ\) και \(ΒΔ\).

Από το άθροισμα γωνιών του τετραπλεύρου \(ΑΒΓΔ\) έχουμε:

\(\widehat{ΔΑΒ} + \widehat{ΑΒΓ} + \widehat{ΑΔΓ} + \widehat{ΒΓΔ} = 360^{\circ}\) ή \(2\widehat{ΔΑΒ} + 2\widehat{ΑΔΓ} = 360^{\circ}\) ή \(\widehat{ΔΑΒ} + \widehat{ΑΔΓ} = 180^{\circ}\)

Οι γωνίες \(\widehat{ΔΑΒ}\) και \(\widehat{ΑΔΓ}\) είναι εντός και επί τα αυτά μέρη των \(ΑΒ\), \(ΓΔ\) που τέμνονται από την \(ΑΔ\). Επειδή είναι παραπληρωματικές, οι ευθείες \(ΑΒ\), \(ΓΔ\) είναι παράλληλες \((2)\).

Αν υποθέσουμε ότι \(ΑΔ \parallel ΒΓ\), τότε το τετράπλευρο \(ΑΒΓΔ\) θα ήταν παραλληλόγραμμο και θα είχε \(ΑΒ = ΓΔ\) που είναι άτοπο αφού \(ΑΒ < ΓΔ\). Άρα οι \(ΑΔ\), \(ΒΓ\) δεν είναι παράλληλες \((3)\).

Από τις σχέσεις \((2)\), \((3)\) προκύπτει ότι το \(ΑΒΓΔ\) είναι τραπέζιο και επειδή \(ΑΔ = ΒΓ\) είναι ισοσκελές τραπέζιο.