Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 5705 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 37108 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 01-Αυγ-2024 | Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 5.2. Παραλληλόγραμμα | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 37108 | ||
| Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 5.2. Παραλληλόγραμμα | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 01-Αυγ-2024 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Σε παραλληλόγραμμο \(ΑΒΓΔ\) θεωρούμε σημεία \(Ε\), \(Ζ\), \(Η\), \(Θ\) στις πλευρές \(ΑΒ\), \(ΒΓ\), \(ΓΔ\), \(ΔΑ\) αντίστοιχα, με \(ΑΕ = ΓΗ\) και \(ΒΖ = ΔΘ\). Να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο \(ΑΕΓΗ\) είναι παραλληλόγραμμο.
(Μονάδες 6)
β) Το τετράπλευρο \(ΕΖΗΘ\) είναι παραλληλόγραμμο.
(Μονάδες 10)
γ) Τα τμήματα \(ΑΓ\), \(ΒΔ\), \(ΕΗ\) και \(ΖΘ\) διέρχονται από το ίδιο σημείο.
(Μονάδες 9)
ΛΥΣΗ
α) Επειδή \(ΑΒ \parallel ΓΔ\) είναι και \(ΑΕ \parallel ΓΗ\). Επίσης \(ΑΕ = ΓΗ\) από υπόθεση, οπότε το τετράπλευρο \(ΑΕΓΗ\) είναι παραλληλόγραμμο γιατί έχει δύο απέναντι πλευρές του ίσες και παράλληλες.
β) Τα τρίγωνα \(ΔΗΘ\) και \(ΒΕΖ\) έχουν:
\(ΔΗ = ΒΕ\) αφού \(ΔΗ = ΔΓ − ΗΓ = ΑΒ − ΑΕ = ΒΕ\)
\(\widehat{Δ} = \widehat{Β}\), ως απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου
\(ΔΘ = ΒΖ\), από υπόθεση
Τα τρίγωνα \(ΔΗΘ\) και \(ΒΕΖ\) έχουν δύο πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες άρα είναι ίσα, οπότε έχουν και \(ΘΗ = ΕΖ\) \((1)\) αφού βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες \(\widehat{Δ}\) και \(\widehat{Β}\).
Τα τρίγωνα \(ΑΘΕ\) και \(ΓΗΖ\) έχουν:
\(ΑΕ = ΓΗ\), από υπόθεση
\(\widehat{Α} = \widehat{Γ}\), ως απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου
\(ΑΘ = ΓΖ\) διότι \(ΑΘ = ΑΔ − ΔΘ = ΒΓ − ΒΖ = ΓΖ\)
Τα τρίγωνα \(ΑΘΕ\) και \(ΓΗΖ\) έχουν δύο πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες, άρα είναι ίσα, οπότε έχουν και \(ΘΕ = ΗΖ\) \((2)\) αφού βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες \(\widehat{Α}\) και \(\widehat{Γ}\).
Από τις \((1)\) και \((2)\) το τετράπλευρο \(ΕΖΗΘ\) έχει τις απέναντι πλευρές του ίσες, άρα είναι παραλληλόγραμμο.
γ) Έστω \(Ο\) το μέσον της \(ΑΓ\). Επειδή το \(ΑΒΓΔ\) είναι παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοί του διχοτομούνται, άρα η \(ΒΔ\) διέρχεται από το \(Ο\).
Επειδή το \(ΑΕΓΗ\) είναι παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοί του διχοτομούνται, άρα η \(ΕΗ\) διέρχεται από το \(Ο\) που είναι και το μέσον της.
Επειδή το \(ΕΖΗΘ\) είναι παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοί του διχοτομούνται, άρα η \(ΘΖ\) διέρχεται από το μέσον της \(ΕΗ\) που είναι το \(Ο\).
Άρα οι \(ΑΓ\), \(ΒΔ\), \(ΕΗ\) και \(ΖΘ\) διέρχονται από το ίδιο σημείο.