Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 4642 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 37115 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 31-Ιουλ-2024 | Ύλη: | 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.10. Τραπέζιο | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 37115 | ||
| Ύλη: | 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.10. Τραπέζιο | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 31-Ιουλ-2024 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται παραλληλόγραμμο \(ΑΒΓΔ\). Στην προέκταση της πλευράς \(ΑΒ\) παίρνουμε τμήμα \(ΒΕ = ΑΒ\) και στην προέκταση της πλευράς \(ΑΔ\) τμήμα \(ΔΖ = ΑΔ\).
α) Να αποδείξετε ότι:
i. Τα τετράπλευρα \(ΒΔΓΕ\) και \(ΒΔΖΓ\) είναι παραλληλόγραμμα.
(Μονάδες 7)
ii. Τα σημεία \(Ε\), \(Γ\) και \(Ζ\) είναι συνευθειακά.
(Μονάδες 9)
β) Αν \(Κ\) και \(Λ\) είναι τα μέσα των \(ΒΕ\) και \(ΔΖ\) αντίστοιχα, τότε \(ΚΛ \parallel ΔΒ\) και \(ΚΛ = \frac{3}{2}ΔΒ\).
(Μονάδες 9)
ΛΥΣΗ
α) i. Είναι \(ΑΒ \parallel ΓΔ\) και \(ΑΒ = ΒΕ\) οπότε \(ΒΕ \parallel ΓΔ\).
Στο τετράπλευρο \(ΒΔΓΕ\) δύο απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες, οπότε είναι παραλληλόγραμμο.
Όμοια, \(ΑΔ \parallel ΒΓ\) και \(ΑΔ = ΔΖ\) οπότε \(ΔΖ \parallel ΒΓ\).
Επομένως το τετράπλευρο \(ΒΔΖΓ\) έχει δύο απέναντι πλευρές του ίσες και παράλληλες, οπότε είναι παραλληλόγραμμο.
ii. Επειδή το \(ΒΔΓΕ\) είναι παραλληλόγραμμο, ισχύει ότι \(ΕΓ \parallel ΒΔ\) \((1)\).
Όμοια, το \(ΒΔΖΓ\) είναι παραλληλόγραμμο, οπότε \(ΓΖ \parallel ΒΔ\) \((2)\).
Από τις \((1)\) και \((2)\) προκύπτει ότι \(ΕΓ \parallel ΓΖ\), άρα τα σημεία \(Ε\), \(Γ\), \(Ζ\) είναι συνευθειακά.
β) Επειδή \(ΒΔ \parallel ΕΖ\), και οι \(ΕΒ\) και \(ΔΖ\) τέμνονται στο \(Α\), το τετράπλευρο \(ΒΔΖΕ\) είναι τραπέζιο.
Η \(ΚΛ\) είναι διάμεσος του τραπεζίου, άρα \(ΚΛ \parallel ΔΒ\) και ισχύει ότι:
\(ΚΛ = \frac{ΔΒ + ΕΖ}{2} = \frac{ΔΒ + ΕΓ + ΓΖ}{2} = \frac{ΔΒ + ΔΒ + ΔΒ}{2} = \frac{3ΔΒ}{2}\)