Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 5191 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 37118 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 12-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 4.4. Γωνίες με πλευρές παράλληλες 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.10. Τραπέζιο | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 37118 | ||
| Ύλη: | 4.4. Γωνίες με πλευρές παράλληλες 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.10. Τραπέζιο | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με γωνία \(\widehat{Β} = 60^{\circ}\). Φέρνουμε τα ύψη \(ΑΔ\) και ΓΕ που τέμνονται στο Η. Φέρνουμε ΚΖ διχοτόμο της γωνίας \(\widehat{ΕΗΑ}\) και ΘΗ κάθετο στο ύψος \(ΑΔ\).
Να αποδείξετε ότι:
α) Για το τμήμα \(ΖΕ\) ισχύει \(ΖΗ = 2ΕΖ\).
(Μονάδες 9)
β) Το τρίγωνο \(ΘΖΗ\) είναι ισόπλευρο.
(Μονάδες 8)
γ) Το τετράπλευρο \(ΘΗΚΒ\) είναι ισοσκελές τραπέζιο.
(Μονάδες 8)
ΛΥΣΗ
α) Για τις οξείες γωνίες του ορθογωνίου τριγώνου \(ΑΒΔ\) ισχύει ότι:
\(\widehat{ΒΑΔ} + \widehat{Β} = 90^{\circ}\) ή \(\widehat{ΒΑΔ} + 60^{\circ} = 90^{\circ}\) ή \(\widehat{ΒΑΔ} = 30^{\circ}\), άρα και \(\widehat{ΕΑΗ} = 30^{\circ}\) \((1)\)
Για τις οξείες γωνίες του ορθογωνίου τριγώνου \(ΑΕΗ\) ισχύει ότι:
\(\widehat{ΕΗΑ} + \widehat{ΕΑΗ} = 90^{\circ}\) ή \(\widehat{ΕΗΑ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}\) ή \(\widehat{ΕΗΑ} = 60^{\circ}\)
Επειδή η ΖΗ είναι διχοτόμος της γωνίας \(\widehat{ΕΗΑ}\), είναι \(\widehat{ΕΗΖ} = 30^{\circ}\) \((2)\), οπότε στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΕΗΖ\) ισχύει ότι \(ΕΖ = \frac{ΖΗ}{2}\) άρα \(ΖΗ = 2ΕΖ\).
β) Για τις οξείες γωνίες του ορθογωνίου τριγώνου \(ΑΘΗ\) ισχύει ότι:
\(\widehat{ΘΑΗ} + \widehat{ΑΘΗ} = 90^{\circ}\) ή \(\widehat{ΕΑΗ} + \widehat{ΑΘΗ} = 90^{\circ}\), όμως \(\widehat{ΕΑΗ} = 30^{\circ}\) (σχέση 1), οπότε \(30^{\circ} + \widehat{ΑΘΗ} = 90^{\circ}\), άρα \(\widehat{ΑΘΗ} = 60^{\circ}\) \((3)\).
Για τις οξείες γωνίες του ορθογωνίου τριγώνου \(ΕΗΘ\) ισχύει ότι:
\(\widehat{ΕΘΗ} + \widehat{ΕΗΘ} = 90^{\circ}\) ή \(\widehat{ΑΘΗ} + \widehat{ΕΗΘ} = 90^{\circ}\), όμως \(\widehat{ΑΘΗ} = 60^{\circ}\) (σχέση 3), οπότε \(60^{\circ} + \widehat{ΕΗΘ} = 90^{\circ}\), άρα \(\widehat{ΕΗΘ} = 30^{\circ}\).
Όμως είναι \(\widehat{ΕΗΖ} = 30^{\circ}\) (σχέση 2), άρα \(\widehat{ΕΗΘ} = \widehat{ΕΗΖ} = 30^{\circ}\), οπότε η ΗΕ είναι διχοτόμος του τριγώνου \(ΘΗΖ\) και επειδή είναι και ύψος, το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Όμως \(\widehat{ΑΘΗ} = 60^{\circ}\) (από σχέση 3), οπότε το τρίγωνο \(ΘΖΗ\) είναι ισόπλευρο.
γ) Είναι \(ΘΗ \perp ΑΔ\) και \(ΒΚ \perp ΑΔ\), οπότε \(ΘΗ \parallel ΒΚ\) ως κάθετες στην ίδια ευθεία. Οι \(ΘΒ\) και \(ΗΔ\) τέμνονται στο \(Α\), άρα δεν είναι παράλληλες, οπότε το \(ΘΗΚΒ\) είναι τραπέζιο.
Επίσης, \(\widehat{ΔΗΚ} = \widehat{ΑΗΖ} = 30^{\circ}\) \((4)\) ως κατακορυφήν.
Για τις οξείες γωνίες του ορθογωνίου τριγώνου \(ΗΔΚ\) ισχύει ότι:
\(\widehat{ΔΗΚ} + \widehat{ΗΚΔ} = 90^{\circ}\), οπότε λόγω της σχέσης \((4)\) θα είναι \(30^{\circ} + \widehat{ΗΚΔ} = 90^{\circ}\) ή \(\widehat{ΗΚΔ} = 60^{\circ}\).
Επειδή \(\widehat{ΗΚΔ} = \widehat{Β} = 60^{\circ}\), οι γωνίες που αντιστοιχούν στη βάση \(ΒΚ\) του τραπεζίου είναι ίσες, οπότε το τραπέζιο είναι ισοσκελές.