Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 7964 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 37124 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαρ-2024 Ύλη: 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Γεωμετρία
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 37124
Ύλη: 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων
Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαρ-2024
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(ΑΒ < ΑΓ\). Στην προέκταση της \(ΑΒ\) (προς το \(Β\)) θεωρούμε σημείο \(Ε\) έτσι ώστε \(ΑΕ = ΑΓ\). Στην πλευρά \(ΑΓ\) θεωρούμε σημείο \(Δ\) έτσι ώστε \(ΑΔ = ΑΒ\). Αν τα τμήματα \(ΔΕ\) και \(ΒΓ\) τέμνονται στο \(Κ\) και η προέκταση της \(ΑΚ\) τέμνει την \(ΕΓ\) στο \(Μ\), τότε να αποδείξετε ότι:

α) \(ΒΓ = ΔΕ\)
(Μονάδες 6)

β) \(ΒΚ = ΚΔ\)
(Μονάδες 7)

γ) Η \(ΑΚ\) είναι διχοτόμος της γωνίας \(Α\).
(Μονάδες 6)

δ) Η \(ΑΜ\) είναι μεσοκάθετος της \(ΕΓ\).
(Μονάδες 6)

ΛΥΣΗ

α) Τα τρίγωνα \(ΒΕΓ\) και \(ΔΕΓ\) έχουν:

  • \(ΕΓ\) κοινή
  • \(BE = ΔΓ\) ως διαφορά των ίσων τμημάτων \(ΑΕ\), \(ΑΒ\) και \(ΑΓ\), \(ΑΔ\) αντίστοιχα
  • \(\hat{ΑΕΓ} = \hat{ΑΓΕ}\), αφού \(ΕΑΓ\) ισοσκελές τρίγωνο

Τα τρίγωνα \(ΒΕΓ\) και \(ΔΕΓ\) έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες γωνίες σε αυτές ίσες άρα είναι ίσα, οπότε έχουν και \(ΒΓ=ΔΕ\) αφού βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες \(\hat{ΑΕΓ}\) και \(\hat{ΑΓΕ}\).

β) Επειδή τα τρίγωνα \(ΒΕΓ\) και \(ΔΕΓ\) είναι ίσα προκύπτει ότι \(\hat{ΔΕΓ} = \hat{ΔΓΕ}\) οπότε το τρίγωνο \(ΚΕΓ\) είναι ισοσκελές, άρα \(ΕΚ= ΚΓ\ \ (1)\).

Τα τρίγωνα \(ΒΕΚ\) και \(ΔΚΓ\) έχουν:

  • \(ΕΚ=ΚΓ\), λόγω της \((1)\)
  • \(BE=ΔΓ\), ως διαφορές των ίσων τμημάτων \(ΑΕ\), \(ΑΒ\) και \(ΑΓ\), \(ΑΔ\) αντίστοιχα
  • \(\hat{ΒΕΚ} = \hat{ΔΓΚ}\) ως διαφορές των ίσων γωνιών \(\hat{ΒΕΓ}\), \(\hat{ΚΕΓ}\) και \(\hat{ΔΓΕ}\), \(\hat{ΚΓΕ}\) αντίστοιχα

Τα τρίγωνα \(ΒΕΚ\) και \(ΔΚΓ\) έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες γωνίες σε αυτές ίσες άρα είναι ίσα, οπότε έχουν και \(ΒΚ=ΚΔ\) αφού βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες \(\hat{ΒΕΚ}\) και \(\hat{ΔΓΚ}\).

γ) Τα τρίγωνα \(ΑΒΚ\) και \(ΑΚΔ\) έχουν:

  • \(ΒΚ=ΚΔ\) από το (β) ερώτημα
  • \(ΑΚ\) κοινή
  • \(ΑΒ=ΑΔ\)

Οπότε τα τρίγωνα \(ΑΒΚ\) και \(ΑΚΔ\) είναι ίσα γιατί έχουν τρεις πλευρές ίσες μία προς μία.

Επομένως \(\hat{ΒΑΚ} = \hat{ΚΑΔ}\) ως γωνίες που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες πλευρές \(ΒΚ\) και \(ΚΔ\), οπότε η \(ΑΚ\) είναι διχοτόμος της γωνίας \(\hat{Α}\).

δ) Επειδή το τρίγωνο \(ΑΕΓ\) είναι ισοσκελές και η \(ΑΜ\) είναι διχοτόμος της γωνίας \(\hat{Α}\), θα είναι διάμεσος και ύψος, άρα η \(ΑΜ\) είναι μεσοκάθετος της \(ΕΓ\).