ΛΥΣΗ

α) i.

\(\widehat{ΕΒΑ} = \widehat{ΑΔΖ} = 45^{\circ}\) ως γωνίες πρόσπτωσης και ανάκλασης αντίστοιχα

Τα τρίγωνα \(ΕΑΒ\) και \(ΖΑΔ\) είναι ίσα γιατί έχουν:

• \(ΕΑ = ΑΖ\), διότι το \(Α\) είναι σημείο της μεσοκάθετου του \(ΕΖ\).

• \(\widehat{ΑΕΒ} = \widehat{ΑΖΔ}\), διότι \(\widehat{Ε} = \widehat{Ζ} = 90^{\circ}\) και \(\widehat{ΑΕΖ} = \widehat{ΑΖΕ}\) αφού το \(ΑΖΕ\) τρίγωνο είναι ισοσκελές.

• \(\widehat{ΕΑΒ} = \widehat{ΖΑΔ}\) αφού τα τρίγωνα \(ΑΕΒ\) και \(ΑΖΔ\) έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία, οπότε και οι τρίτες τους γωνίες θα είναι ίσες.

Τα τρίγωνα \(ΕΑΒ\) και \(ΖΑΔ\) έχουν μία πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία άρα είναι ίσα.

ii. Επειδή τα τρίγωνα \(ΕΑΒ\) και \(ΖΑΔ\) είναι ίσα, είναι και \(ΑΒ = ΑΔ\) αφού είναι απέναντι από τις ίσες γωνίες \(\widehat{ΑΕΒ}\), \(\widehat{ΑΖΔ}\).

Οι γωνίες πρόσπτωσης και ανάκλασης είναι \(45^{\circ}\), οπότε ισχύει ότι:

\(\widehat{ΑΒΕ} = \widehat{ΘΒΓ} = \widehat{ΒΓΘ} = \widehat{ΗΓΔ} = \widehat{ΓΔΗ} = \widehat{ΑΔΖ} = 45^{\circ}\)

Άρα

\(\widehat{ΑΒΓ} = \widehat{ΒΓΔ} = \widehat{ΓΔΑ} = 90^{\circ}\)

Επομένως το τετράπλευρο \(ΑΒΓΔ\) είναι ορθογώνιο.

Το ορθογώνιο \(ΑΒΓΔ\) έχει δύο διαδοχικές πλευρές του ίσες, επομένως είναι τετράγωνο.

β)

Έστω \(ΑΚ\) η απόσταση του \(Α\) από την πλευρά \(ΕΖ\). Είναι

\(ΑΖ = 2ΑΚ \Leftrightarrow ΑΚ = \frac{ΑΖ}{2}\)

Άρα στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΚΖ\) μια κάθετη πλευρά ισούται με το μισό της υποτείνουσας, επομένως η απέναντι γωνία από την πλευρά αυτή είναι \(30^{\circ}\), δηλαδή \(\widehat{ΑΖΚ} = 30^{\circ}\).

Επειδή το τρίγωνο \(ΑΕΖ\) είναι ισοσκελές με βάση την \(ΕΖ\), ισχύει ότι: \(\widehat{ΑΖΚ} = \widehat{ΑΕΖ} = 30^{\circ}\).

Από το άθροισμα γωνιών του τριγώνου \(ΑΕΖ\), έχουμε:

\(\widehat{ΕΑΖ} + \widehat{ΑΕΖ} + \widehat{ΑΖΚ} = 180^{\circ}\) ή \(\widehat{ΕΑΖ} + 30^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}\) ή \(\widehat{ΕΑΖ} = 120^{\circ}\)