Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 5815 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 37128 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 12-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.4. Ρόμβος 5.11. Ισοσκελές τραπέζιο | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 37128 | ||
| Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.4. Ρόμβος 5.11. Ισοσκελές τραπέζιο | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Έστω ισοσκελές τραπέζιο \(ΑΒΓΔ\) (\(ΑΒ \parallel ΔΓ\)) με \(\widehat{Β} = 2 \cdot \widehat{Γ}\) και \(ΑΒ = ΒΓ = ΑΔ = \frac{ΓΔ}{2}\). Φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας \(\widehat{Β}\), η οποία τέμνει το \(ΔΓ\) στο \(Κ\) και η κάθετη από το \(Κ\) προς το \(ΒΓ\) το τέμνει στο \(Μ\).
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του \(ΑΒΓΔ\).
(Μονάδες 10)
β) Να αποδείξετε ότι:
i. Το τετράπλευρο \(ΑΒΚΔ\) είναι ρόμβος.
(Μονάδες 8)
ii. Το σημείο \(Μ\) είναι το μέσο του \(ΒΓ\).
(Μονάδες 7)
ΛΥΣΗ
α) Οι γωνίες \(\widehat{Β}\) και \(\widehat{Γ}\) είναι παραπληρωματικές ως εντός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων \(ΑΒ\), \(ΓΔ\) που τέμνονται από τη \(ΒΓ\). Άρα \(\widehat{Β} + \widehat{Γ} = 180^{\circ}\).
Επειδή από την υπόθεση έχουμε ότι \(\widehat{Β} = 2\widehat{Γ}\), τότε \(3\widehat{Γ} = 180^{\circ}\) άρα \(\widehat{Γ} = 60^{\circ}\), οπότε \(\widehat{Β} = 120^{\circ}\). Το \(ΑΒΓΔ\) είναι ισοσκελές τραπέζιο οπότε οι γωνίες που είναι προσκείμενες σε κάθε του βάση είναι ίσες, άρα \(\widehat{Α} = \widehat{Β} = 120^{\circ}\) και \(\widehat{Δ} = \widehat{Γ} = 60^{\circ}\).
β) i. Επειδή η \(ΒΚ\) είναι διχοτόμος της γωνίας \(\widehat{Β}\), είναι \(\widehat{ΑΒΚ} = \widehat{ΚΒΓ} = 60^{\circ}\). Στο τρίγωνο \(ΒΚΓ\) δύο γωνίες του είναι ίσες με \(60^{\circ}\) οπότε και \(\widehat{ΒΚΓ} = 60^{\circ}\), δηλαδή το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, επομένως \(ΚΒ = ΚΓ = ΒΓ\).
Επειδή \(ΒΓ = ΑΒ = ΑΔ= \frac{ΓΔ}{2}\) από υπόθεση θα είναι και \(ΔΚ = ΚΒ = ΑΒ = ΑΔ\), οπότε το τετράπλευρο \(ΑΒΚΔ\) είναι ρόμβος γιατί έχει τις πλευρές του ίσες.
ii. Το τρίγωνο \(ΚΒΓ\) είναι ισόπλευρο και το \(ΚΜ\) είναι ύψος του αφού \(ΚΜ \perp ΒΓ\), άρα θα είναι και διάμεσος της πλευράς \(ΒΓ\), συνεπώς το \(Μ\) είναι μέσο του \(ΒΓ\).