ΛΥΣΗ
α) i)

Τα ορθογώνια τρίγωνα \(ΕΗΑ\) και \(ΕΚΖ\) έχουν:

• (\(\hat{ΗΕΑ} = \hat{ΚΕΖ}\) , ως κατακορυφήν
• ΕΗ = ΕΚ (1), διότι το Ε είναι σημείο της διχοτόμου ΑΔ και ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας \(\hat{Β}\).

Άρα τα τρίγωνα \(ΕΗΑ\) και \(ΕΚΖ\) είναι ίσα γιατί ως ορθογώνια έχουν μια κάθετη πλευρά και την προσκείμενη σε αυτή οξεία γωνίες ίσες μία προς μία.
ii)

Τα ορθογώνια τρίγωνα \(BΕΗ\) και \(BΕΚ\) έχουν:

• ΕΗ = ΕΚ (σχέση (1) του αι) ερωτήματος)
• ΒΕ κοινή πλευρά

Άρα τα τρίγωνα \(BΕΗ\) και \(BΕΚ\) είναι ίσα γιατί ως ορθογώνια έχουν την υποτείνουσα και μια κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μία προς μία, οπότε θα έχουν και τις άλλες αντίστοιχες κάθετες πλευρές τους ίσες, δηλαδή \(ΒΗ = ΒΚ\) . Επομένως το τρίγωνο \(ΒΚΗ\) είναι ισοσκελές.
iii)

Φέρνουμε το τμήμα \(ΑΖ\) και έστω \(Θ\) το σημείο τομής της διχοτόμου \(ΒΔ\) και του \(ΑΖ\).
Στο τρίγωνο \(ΑΒΖ\) το σημείο \(Ε\) είναι το σημείο τομής των υψών του \(ΑΚ\), \(ΖΗ\) άρα είναι ορθόκεντρο του τριγώνου. Οπότε και το \(ΒΘ\) είναι ύψος αφού διέρχεται από το \(Ε\). Άρα η \(ΒΔ\) είναι κάθετη στην \(ΑΖ\).
β)

Αν το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, το \(ΑΚ\) είναι ύψος και διχοτόμος. Στο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) το \(Ε\) είναι σημείο τομής των διχοτόμων \(ΑΚ\) και \(ΒΔ\) . Η \(ΓΕ\) διέρχεται από το \(Ε\) άρα είναι διχοτόμος της γωνίας \(\hat{Γ}\).