ΛΥΣΗ

α) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο, οπότε ΓΑ = ΓΒ, δηλαδή το Γ ισαπέχει από τα Α και Β, οπότε ανήκει στη μεσοκάθετο του ΑΒ.
Επίσης το τρίγωνο ΑΔΒ είναι ισοσκελές, οπότε ΔΑ = ΔΒ, δηλαδή το Δ ισαπέχει από τα Α και Β, οπότε ανήκει στη μεσοκάθετο του ΑΒ.
Επειδή τα σημεία Γ, Δισαπέχουν από τα άκρα Α, Β του τμήματος ΑΒ θα ανήκουν στη μεσοκάθετο του ΑΒ, οπότε η ΓΔ είναι η μεσοκάθετος του τμήματος ΑΒ.
β) Το τμήμα ΔΘ ανήκει στη μεσοκάθετο ΓΔ του ΑΒ οπότε θα είναι ύψος και διάμεσος στην πλευρά ΑΒ του ισοσκελούς τριγώνου ΑΔΒ, άρα θα είναι και διχοτόμος της γωνίας \(\hat{Δ}\) και θα ισχύει \(\hat{ΑΔΘ}=\hat{ΘΔΒ}= 60^ο\).
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΘΔ η ΘΖ είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ΑΔ, άρα
ΘΖ = \(\dfrac{ΑΔ}{2}\) = ΖΑ. Επομένως το τρίγωνο ΖΘΔ είναι ισοσκελές και αφού \(\hat{ΑΔΘ}= 60^ο\), το τρίγωνο ΖΘΔ είναι ισόπλευρο, άρα \(\hat{ΖΘΔ}= 60^ο\) (1).
Ομοίως, το τμήμα ΘΓ θα είναι ύψος και διάμεσος στην πλευρά ΑΒ του ισοπλεύρου τριγώνου ΑΔΒ, άρα θα είναι και διχοτόμος της γωνίας \(\hat{Γ}= 60^ο\), οπότε \(\hat{ΑΓΘ}= 30^ο\).
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΘΓ η ΘΗ είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα, άρα
ΘΗ = \(\dfrac{ΑΓ}{2}\) = ΗΓ. Επομένως το τρίγωνο ΘΗΓ είναι ισοσκελές και θα ισχύει ότι \(\hat{ΗΘΓ}= \hat{ΑΓΘ}\), άρα
\(\hat{ΑΓΘ}=30^ο\) (2).
Είναι \(\hat{ΔΘΓ}= 180^ο\) ή \(\hat{ΖΘΔ}+\hat{ΖΘΗ}+\hat{ΗΘΓ}= 180^ο\) και λόγω των σχέσεων (1) και (2) θα έχουμε
\(60^ο +\hat{ΖΘΗ}+ 30^ο = 180^ο\), άρα \(\hat{ΖΘΗ}= 90^ο\).
γ) Για τις οξείες γωνίες του ορθογωνίου τριγώνου ΑΘΔ ισχύει ότι:
\(\hat{ΑΔΘ}+ \hat{ΔΑΘ}= 90^ο\) με \(\hat{ΑΔΘ}= 60^ο\), οπότε \(60^ο+ \hat{ΔΑΘ}=90^ο\) ή \(\hat{ΔΑΘ}= 30^ο\) .
Τότε για την απέναντι πλευρά της γωνίας \(\hat{ΔΑΘ}\) στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΖΚ θα ισχύει ότι:
ΖΚ = \(\dfrac{ΑΖ}{2}=\dfrac{\dfrac{ΑΔ}{2}}{2}=\dfrac{ΑΔ}{4}\).