Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 6127 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 37157 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 12-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.4. Ρόμβος 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 37157 | ||
| Ύλη: | 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.4. Ρόμβος 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Έστω τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με διάμεσο \(ΑΜ\) τέτοια ώστε \(ΑΜ = ΑΒ\). Φέρουμε το ύψος \(ΑΚ\) και το προεκτείνουμε (προς το \(Κ\)) κατά τμήμα \(ΚΔ\) = \(ΑΚ\). Προεκτείνουμε τη διάμεσο \(ΑΜ\) (προς το \(Μ\)) κατά τμήμα \(ΜΕ = ΑΜ\).
Να αποδείξετε ότι:
α) \(ΔΕ \perp ΑΔ\) και \(ΔΕ = 2ΚΜ\).
(Μονάδες 7)
β) Το τετράπλευρο \(ΑΒΕΓ\) είναι παραλληλόγραμμο.
(Μονάδες 6)
γ) Το τετράπλευρο \(ΑΒΔΜ\) είναι ρόμβος.
(Μονάδες 6)
δ) Η προέκταση της \(ΔΜ\) τέμνει το \(ΑΓ\) στο μέσον του \(Ζ\).
(Μονάδες 6)
ΛΥΣΗ
α) Είναι \(ΑΜ = ΑΒ\) άρα το τρίγωνο \(ΑΒΜ\) είναι ισοσκελές και \(ΑΚ\) ύψος του τριγώνου \(ΑΒΜ\) οπότε το \(ΑΚ\) είναι και διάμεσος του τριγώνου. Συνεπώς το \(ΚΜ\) ενώνει τα μέσα δύο πλευρών \(ΑΔ\) και \(ΑΕ\) στο τρίγωνο \(ΑΔΕ\), άρα \(ΚΜ \parallel ΔΕ\) και \(ΚΜ = \frac{ΔΕ}{2} \Leftrightarrow ΔΕ = 2ΚΜ\).
Επειδή \(ΑΔ \perp ΚΜ\) και \(ΚΜ \parallel ΔΕ\), είναι και \(ΑΔ \perp ΔΕ\).
β) Είναι \(ΜΒ = ΜΓ\), διότι \(Μ\) μέσο της \(ΒΓ\) και \(ΜΑ = ΜΕ\) από υπόθεση. Άρα οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου \(ΑΒΕΓ\) διχοτομούνται στο \(Μ\), οπότε είναι παραλληλόγραμμο.
γ) Το \(Κ\) είναι μέσο του \(ΒΜ\) όπως αποδείχθηκε στο ερώτημα (α) και του \(ΑΔ\) από υπόθεση. Επιπλέον \(ΑΔ \perp ΒΜ\) από υπόθεση άρα οι διαγώνιοι \(ΑΔ\) και \(ΒΜ\) του τετραπλεύρου \(ΑΒΔΜ\) διχοτομούνται κάθετα στο \(Κ\), οπότε είναι ρόμβος.
δ) Επειδή το \(ΑΒΔΜ\) είναι ρόμβος, είναι \(ΑΒ \parallel ΔΜ\).
Από το παραλληλόγραμμο \(ΑΒΕΓ\) έχουμε \(ΓΕ \parallel ΑΒ\).
Άρα \(ΓΕ \parallel ΔΜ\) ή \(ΓΕ \parallel ΜΖ\).
Στο τρίγωνο \(ΑΓΕ\) ο \(Μ\) είναι μέσο της \(ΑΕ\) και \(ΜΖ \parallel ΓΕ\), άρα \(Ζ\) μέσο του \(ΑΓ\).