Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 5588 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 37158 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 12-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 37158 | ||
| Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Έστω ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(\widehat{Α} = 90^{\circ}\) και \(Δ\) και \(Ε\) τα μέσα των \(ΑΒ\) και \(ΑΓ\) αντίστοιχα. Στο τμήμα \(ΒΓ\) θεωρούμε σημεία \(Κ\) και \(Λ\) ώστε \(ΔΚ = ΚΒ\) και \(ΕΛ = ΛΓ\).
Να αποδείξετε ότι:
α) \(\widehat{ΔΚΛ} = 2 \cdot \widehat{Β}\) και \(\widehat{ΕΛΚ} = 2 \cdot \widehat{Γ}\).
(Μονάδες 10)
β) Το τετράπλευρο \(ΔΕΛΚ\) είναι παραλληλόγραμμο.
(Μονάδες 9)
γ) \(ΔΕ = 2·ΔΚ\).
(Μονάδες 6)
ΛΥΣΗ
α) Είναι \(ΔΚ = ΚΒ\) από υπόθεση, άρα το τρίγωνο \(ΔΚΒ\) είναι ισοσκελές οπότε \(\widehat{ΒΔΚ} = \widehat{Β}\).
Η γωνία \(\widehat{ΔΚΛ}\) είναι εξωτερική στο τρίγωνο \(ΔΒΚ\), άρα: \(\widehat{ΔΚΛ} = \widehat{ΒΔΚ} + \widehat{Β} = 2\widehat{Β}\).
Είναι \(ΕΛ = ΛΓ\) από υπόθεση, άρα το τρίγωνο \(ΕΛΓ\) είναι ισοσκελές, οπότε \(\widehat{ΛΕΓ} = \widehat{Γ}\).
Η γωνία \(\widehat{ΕΛΚ}\) είναι εξωτερική στο τρίγωνο \(ΕΛΓ\), άρα: \(\widehat{ΕΛΚ} = \widehat{ΛΕΓ} + \widehat{Γ} = 2\widehat{Γ}\).
β) Για τις οξείες γωνίες του ορθογωνίου τριγώνου \(ΑΒΓ\) ισχύει ότι: \(\widehat{Β} + \widehat{Γ} = 90^{\circ}\).
Για τις γωνίες \(\widehat{ΔΚΛ}\), \(\widehat{ΕΛΚ}\) του τετραπλεύρου \(ΔΕΛΚ\) σε συνδυασμό με το ερώτημα (α) έχουμε ότι: \(\widehat{ΔΚΛ} + \widehat{ΕΛΚ} = 2\widehat{Β} + 2\widehat{Γ} = 2(\widehat{Β} + \widehat{Γ}) = 2 \cdot 90^{\circ} = 180^{\circ}\).
Επειδή οι γωνίες \(\widehat{ΔΚΛ}\), \(\widehat{ΕΛΚ}\) είναι εντός και επί τα αυτά μέρη των \(ΔΚ\), \(ΕΛ\) που τέμνονται από την \(ΒΓ\) και είναι παραπληρωματικές, προκύπτει ότι \(ΔΚ \parallel ΕΛ\).
Επειδή το \(ΔΕ\) ενώνει μέσα δύο πλευρών στο τρίγωνο \(ΑΒΓ\), ισχύει ότι \(ΔΕ \parallel ΒΓ\), οπότε \(ΔΕ \parallel ΚΛ\) και επίσης \(ΔΕ=\frac{ΒΓ}{2}\).
Στο τετράπλευρο \(ΔΕΛΚ\) οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες, άρα είναι παραλληλόγραμμο.
γ) Επειδή το \(ΔΕΛΚ\) είναι παραλληλόγραμμο και \(ΔΕ = \frac{ΒΓ}{2}\) θα είναι και \(ΚΛ = \frac{ΒΓ}{2}\). Οπότε, και για το υπόλοιπο μέρος της \(ΒΓ\) θα είναι: \(ΒΚ + ΛΓ = \frac{ΒΓ}{2}\).
Αφού \(ΒΚ = ΚΔ = ΛΕ = ΛΓ\) (δηλαδή \(ΒΚ = ΛΓ\)) θα έχουμε \(ΒΚ = ΛΓ = \frac{ΒΓ}{4}\).
Άρα, τελικά είναι \(ΔΚ = \frac{ΒΓ}{4}\) και αφού \(ΔΕ = \frac{ΒΓ}{2}\), θα είναι \(ΔΕ = 2ΔΚ\).
