Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 5876 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 37160 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 12-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.2. Παραλληλόγραμμα | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 37160 | ||
| Ύλη: | 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.2. Παραλληλόγραμμα | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Έστω τρίγωνο \(ΑΒΓ\), \(ΑΔ\) η διχοτόμος της γωνίας \(\widehat{Α}\) και \(Μ\) το μέσον της \(ΑΒ\). Η κάθετη από το \(Μ\) στην \(ΑΔ\) τέμνει το \(ΑΓ\) στο \(Ε\). Η παράλληλη από το \(Β\) στο \(ΑΓ\) τέμνει την προέκταση της \(ΑΔ\) στο \(Κ\) και την προέκταση της \(ΕΜ\) στο \(Λ\).
Να αποδείξετε ότι:
α) Τα τρίγωνα \(ΑΕΜ\), \(ΜΒΛ\) και \(ΑΒΚ\) είναι ισοσκελή.
(Μονάδες 15)
β) Το τετράπλευρο \(ΑΛΒΕ\) είναι παραλληλόγραμμο.
(Μονάδες 10)
ΛΥΣΗ
α) Η \(ΑΔ\) είναι ο φορέας του ύψους και της διχοτόμου του τριγώνου \(ΑΕΜ\), οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές με \(ΑΕ = ΑΜ\) και \(\widehat{ΑΕΜ} = \widehat{ΑΜΕ}\) \((1)\).
Επίσης \(\widehat{ΑΕΜ} = \widehat{ΜΛΒ}\) \((2)\) ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων \(ΑΓ\), \(ΛΚ\) που τέμνονται από την \(ΕΛ\) και \(\widehat{ΑΜΕ} = \widehat{ΒΜΛ}\) \((3)\) ως κατακορυφήν. Από \((1)\), \((2)\), \((3)\) βρίσκουμε \(\widehat{ΒΜΛ} = \widehat{ΜΛΒ}\), οπότε το τρίγωνο \(ΒΜΛ\) είναι ισοσκελές.
Είναι \(\widehat{Κ} = \widehat{ΓΑΔ}\) \((4)\) ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων \(ΑΓ\), \(ΚΛ\) που τέμνονται από την \(ΑΚ\) και \(\widehat{ΓΑΔ} = \widehat{ΔΑΒ}\) \((5)\) γιατί η \(ΑΔ\) είναι διχοτόμος της γωνίας \(\widehat{Α}\). Από \((4)\), \((5)\) βρίσκουμε \(\widehat{ΔΑΒ} = \widehat{Κ}\), οπότε το τρίγωνο \(ΑΒΚ\) είναι ισοσκελές.
β) Από τα ισοσκελή τρίγωνα \(ΑΕΜ\) και \(ΜΒΛ\) και επειδή το \(Μ\) είναι μέσο του \(Β\), έχουμε \(ΑΕ = ΑΜ = ΜΒ = ΒΛ\). Οπότε \(ΑΕ = // ΒΛ\), άρα το \(ΑΛΒΕ\) είναι παραλληλόγραμμο.