Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 3834 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 37168 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 19-Μαΐ-2023 Ύλη: 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 37168
Ύλη: 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 19-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 2

Δίνονται οι ανισώσεις :

$$−x^{2}+5x−6 < 0\ \ \ \ (1)$$ $$x^{2}−16\le 0\ \ \ \ (2)$$

α) Να βρεθούν οι λύσεις των \((1)\), \((2)\).
(Μονάδες 12)

β) Να παρασταθούν οι λύσεις των ανισώσεων \((1)\) και \((2)\) πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να βρεθούν οι κοινές λύσεις των παραπάνω ανισώσεων.
(Μονάδες 13)

Λύση

α) Το τριώνυμο \(−x^{2}+5x−6\) έχει \(α=−1\), \(β=5\), \(γ=−6\) και διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}−4αγ$$ $$=5^{2}−4\cdot (−1)\cdot (−6)$$ $$=25−24=1>0$$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{−β\pm \sqrt{Δ}}{2a}$$ $$=\dfrac{−5\pm \sqrt{1}}{2\cdot (−1)}=2\ \text{και}\ 3$$

Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Επομένως ισχύει:

$$−x^{2}+5x−6 < 0 $$ $$\Leftrightarrow (x<2\ \ \text{ή}\ \ x>3) $$ $$\Leftrightarrow x\in (−\infty ,2)\cup (3,+\infty)$$

Την ανίσωση \(x^{2}−16\le 0\) θα την λύσουμε με συντομότερο τρόπο. Ισχύει ότι:

$$x^{2}−16\le 0 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}\le 16 $$ $$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}}\le \sqrt{16} $$ $$\Leftrightarrow |x|\le 4 $$ $$\Leftrightarrow −4\le x\le 4 $$ $$\Leftrightarrow x\in [−4,4]$$

β) Αναπαριστούμε τις λύσεις των παραπάνω εξισώσεων στον ίδιο άξονα αριθμών και όπως φαίνεται από το σχήμα που ακολουθεί:

οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων είναι:

$$−4\le x < 2\ \ \text{ή}\ \ 3 < x\le 4 $$ $$\Leftrightarrow x\in [−4,2)\cup (3,4]$$