Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 4569 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 37185 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 15-Μαΐ-2023 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 37185
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 15-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 2

Δίνεται η συνάρτηση:

$$f(x)=\dfrac{x^{3}−16x}{x−4}$$

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \(f\) και να αποδείξετε ότι, για τα \(x\) που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της, ισχύει ότι \(f(x)=x^{2}+4x\).
(Μονάδες 15)

β) Να βρείτε τις τιμές του \(x\) για τις οποίες ισχύει \(f(x)=32\).
(Μονάδες 10)

α) Πρέπει: \(x-4\ne 0\Leftrightarrow x\ne 4\).

Ο τύπος της συνάρτησης \(f\) μετά τις σχετικές παραγοντοποιήσεις και απλοποιήσεις γίνεται:

$$\begin{align} f(x) & =\dfrac{x^{3}-16x}{x-4}\\ &=\dfrac{x(x^{2}-16)}{x-4}\\ &=\dfrac{x(x-4)(x+4)}{x-4}\\ &=x(x+4)\\ & =x^{2}+4x \end{align}$$

β) Είναι:

$$f(x)=32$$ $$\Leftrightarrow x^{2}+4x=32$$ $$\Leftrightarrow x^{2}+4x-32=0$$

Το τριώνυμο \(x^{2}+4x-32\) έχει \(α=1\), \(β= 4\), \(γ=-32\) και διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ=4^{2}-4\cdot 1\cdot (-32)=16+128=144>0$$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$$\begin{align} x_{1,2} & =\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2a}\\ &=\dfrac{-4\pm \sqrt{144}}{2\cdot 1}\\ &=\dfrac{-4\pm 12}{2}\\ &=\begin{cases} \dfrac{-4+12}{2}=4 \\ \dfrac{-4-12}{2}=-8 \end{cases} \end{align}$$

Επειδή η \(f\) ορίζεται στο \(Α=\mathbb{R}-\{4\}\), δεκτή είναι μόνο η τιμή \(x=-8\).