Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 3826 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 37189 Θέμα: 3
Τελευταία Ενημέρωση: 31-Μαΐ-2023 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 3
Κωδικός Θέματος: 37189
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 31-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 2

Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=x+\dfrac{1}{x},\ \ x\ne 0\).

α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: \(A=f(\dfrac{1}{2})+f(1)−f(2)\).
(Μονάδες 10)

β) Να λύσετε την εξίσωση \(f(x)=\dfrac{5}{2}\).
(Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ

α) Ισχύουν:

$$f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}$$ $$=\dfrac{1}{2}+2=\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{2}=\dfrac{5}{2}$$


$$f(1)=1+\dfrac{1}{1}$$ $$=1+1=2$$


$$f(2)=2+\dfrac{1}{2}$$ $$=\dfrac{4}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$$

Οπότε:

$$A=f(\dfrac{1}{2})+f(1)-f(2)$$ $$=\dfrac{5}{2}+2-\dfrac{5}{2}=2$$

β) Ισχύει ότι:

$$ f(x)=\dfrac{5}{2} $$ $$\Leftrightarrow x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{5}{2} $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{x^{2}+1}{x}=\dfrac{5}{2} $$ $$\Leftrightarrow 2(x^{2}+1)=5x $$ $$\Leftrightarrow 2x^{2}+2=5x $$ $$\Leftrightarrow 2x^{2}-5x+2=0$$

Το τριώνυμο \(2x^{2}-5x+2\) έχει \(α=2\), \(β=-5\), \(γ =2\) και διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-5)^{2}-4\cdot 2\cdot 2$$ $$=25-16=9>0$$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2a}$$ $$=\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{9}}{2\cdot 2}$$ $$=\dfrac{5\pm 3}{4}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{5+3}{4}=2 \\ \dfrac{5-3}{4}= \dfrac{1}{2} \end{cases}$$