Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 3592 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 37202 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαρ-2024 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 37202
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαρ-2024
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 2

α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο \(x^{2}-5x+6\)
(Μονάδες 12)

β) Δίνεται η συνάρτηση

$$f(x)=\dfrac{x-2}{x^{2}-5x+6}$$

  1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού \(Α\) της συνάρτησης.
    (Μονάδες 5)

  2. Να αποδείξετε ότι για κάθε \(x\in A\) ισχύει

$$f(x)=\dfrac{1}{x-3}$$

(Μονάδες 8)

α) Το τριώνυμο \(x^{2}-5x+6\) έχει \(α=1,\ β=-5,\ γ=6\) και διακρίνουσα

$$Δ=β^{2}-4αγ=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1>0$$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$$\begin{align} x_{1,2} & =\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}\\ & =\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{1}}{2\cdot 1}\\ & = \dfrac{5\pm 1}{2}\\ & = \begin{cases} \dfrac{5+1}{2}=\dfrac{6}{2}=3 \\ \dfrac{5-1}{2}=\dfrac{4}{2}=2 \end{cases} \end{align}$$

Οπότε:

$$x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)$$

β)

  1. Πρέπει:

    $$x^{2}-5x+6\ne 0 $$ $$\Leftrightarrow (x-2)(x-3)\ne 0 $$ $$\Leftrightarrow \left\{ x-2\ne 0 \text{ και } x-3\ne 0 \right\} $$ $$\Leftrightarrow \left\{ x\ne 2 \text{ και } x\ne 3 \right\}$$

    Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \(f\) είναι το \(A=\mathbb{R}-\{2,3\}\).

  2. Ο τύπος της συνάρτησης \(f\) γράφεται:

$$\begin{align} f(x) & =\dfrac{x-2}{x^{2}-5x+6}\\ & =\dfrac{x-2}{(x-2)(x-3)}\\ & =\dfrac{1}{x-3}\end{align}$$