ΛΥΣΗ
α) Το εμβαδόν κάθε σανίδας είναι \(αβ\), άρα των τεσσάρων σανίδων είναι \(4αβ\). Επομένως το εμβαδόν του τετραγώνου είναι \(4αβ\).
β) Εφόσον το εμβαδόν κάθε σανίδας είναι \(αβ\), ισχύει ότι \(αβ=0,3\). Άρα το εμβαδόν του τετραγώνου είναι \(4αβ=1,2\).
Επομένως η πλευρά του τετραγώνου είναι \(\sqrt{4αβ}=\sqrt{1,2}\).
Η διάμετρος του καπακιού είναι το πολύ ίση με την πλευρά του τετραγώνου. Άρα η διάμετρος του καπακιού είναι το πολύ \(\sqrt{1,2}\) μέτρα. Όμως \(\sqrt{1,2}<\sqrt{1,3}\) και \(\sqrt{1,3}<1,3\), καθώς \(1,3^{2}=1,69\). Άρα η πλευρά του τετραγώνου είναι μικρότερη από \(1,3\).
Επομένως ο ξυλουργός δεν μπορεί να κατασκευάσει καπάκι για το βαρέλι με διάμετρο \(1,3\) μέτρα.
γ) Αν \(ρ\) είναι η ακτίνα του καπακιού, τότε ισχύει \(πρ^{2}=1,5\) ή \(ρ^{2}=\dfrac{1,5}{π}\).
Για την κατασκευή του \(Χ\) χρειάζονται \(4\) κομμάτια μετάλλου μήκους \(ρ\), άρα μια μεταλλική ράβδος μήκους \(4ρ\).
Όμως \(π>3\) ή \(\dfrac{1}{π}<\dfrac{1}{3}\) ή \(\dfrac{1,5}{π}<\dfrac{1,5}{3}\) ή \(ρ^{2}<\dfrac{1}{2}\) ή \(ρ<\sqrt{\dfrac{1}{2}}\) ή \(ρ<\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ή \(4ρ<2\sqrt{2}\).
Όμως \(\sqrt{2}<1,5\) επομένως \(4ρ<2\sqrt{2}<2\cdot 1,5=3\).
Άρα η μεταλλική ράβδος \(3,1\) μέτρων επαρκεί για την κατασκευή του \(Χ\).
Άλλος τρόπος
Αρκεί να αποδείξουμε ότι \(4ρ<3,1\) ή \(4ρ<\dfrac{31}{10}\) ή \(16ρ^{2}<(\dfrac{31}{10})^{2}\), γιατί τα δύο μέλη της ανισότητας είναι θετικά.
Ισοδύναμα \(16ρ^{2}<\dfrac{961}{100}\).
Όμως το εμβαδόν του καπακιού είναι \(πρ^{2}=1,5\). Άρα \(ρ^{2}=\dfrac{1,5}{π}\).
Αντικαθιστώντας το \(ρ^{2}\) με \(\dfrac{1,5}{π}\) στην προηγούμενη ανισότητα, έχουμε:

$$16\cdot \dfrac{1,5}{π}<\dfrac{961}{100} ή \dfrac{24}{π}<\dfrac{961}{100} ή 2.400<961\cdot π$$

που είναι αληθές, γιατί:

$$961\cdot 3=2.883$$

άρα \(961\cdot 3>2.400\) και \(961\cdot π>961\cdot 3\).