Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 4044 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 38823 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 07-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 38823 | ||
| Ύλη: | 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Οι αριθμοί παίζουν καθοριστικό ρόλο στη διαχείριση δεδομένων, στις μετρήσεις, στις εμπορικές συναλλαγές και σε πολλές άλλες δραστηριότητες. Για παράδειγμα, οι φυσικοί αριθμοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αρίθμηση βημάτων σε μια διαδικασία ή για την κατάταξη διαγωνιζομένων σε έναν διαγωνισμό· οι ακέραιοι στη μέτρηση πλεονάσματος ή ελλείμματος προϊόντων στο εμπόριο· οι ρητοί στις ακριβείς μετρήσεις μεγεθών και στον λόγο διαστάσεων των οθονών των τηλεοράσεων· τέλος, οι άρρητοι στην κρυπτογραφία και την προστασία ευαίσθητων δεδομένων. Για τον λόγο αυτόν χρειάζεται να μπορούμε να ταξινομούμε τους αριθμούς ανάλογα με το είδος τους.
α) Δίνονται οι αριθμοί:
$$2,\ \ \ \ 3-\sqrt{2},\ \ \ \ -2,\sqrt{16},\ \ \ \ π,\ \ \ \ 3,14,\ \ \ \ 0,33…,\ \ \ \ 1,1010010001…,\ \ \ \ \dfrac{\sqrt{2}}{3},\ \ \ \ \dfrac{1}{7}$$
Να βασιστείτε στην παραπάνω περιγραφή, για να υποδείξετε ποιοι από τους αριθμούς (ή ίσοι με αυτούς):
είναι φυσικοί και θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για την αρίθμηση βημάτων.
(Μονάδες 2)
είναι ακέραιοι και θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν στη μέτρηση πλεονάσματος ή ελλείμματος προϊόντων.
(Μονάδες 1)
είναι ρητοί και θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για να εκφράσουν τον λόγο διαστάσεων της οθόνης μιας τηλεόρασης.
(Μονάδες 3)
- είναι άρρητοι και θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν στην κρυπτογραφία.
(Μονάδες 4)
β) Ο Γιάννης ενδιαφέρεται για την αγορά μιας νέας τηλεόρασης 46 ιντσών, σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου, από μια συγκεκριμένη εταιρεία. Κάνοντας μια έρευνα στο διαδίκτυο, διαπιστώνει ότι ένα σημαντικό κριτήριο για την αγορά τηλεόρασης είναι ο λόγος των διαστάσεών της (πλάτος προς ύψος). Όσο μεγαλύτερο είναι το ποσοστό του πλάτους σε σχέση με το ύψος της τηλεόρασης, τόσο καλύτερη είναι η εμπειρία προβολής. Η εταιρεία διαθέτει τηλεοράσεις \(46\) ιντσών με λόγο διαστάσεων \(16:9\) και με λόγο διαστάσεων \(4:3\). Ποια τηλεόραση πρέπει να διαλέξει ο Γιάννης σύμφωνα με το παραπάνω κριτήριο; Να εξηγήσετε τη σκέψη σας.
(Μονάδες 6)
γ) Η Μαρία ισχυρίζεται ότι μπορεί πάντοτε να χρησιμοποιήσει το άθροισμα δύο άρρητων στην κρυπτογραφία, γιατί το άθροισμα δύο άρρητων αριθμών είναι πάντα άρρητος αριθμός.
Να γράψετε δύο άρρητους που το άθροισμά τους να μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην κρυπτογραφία και να εξηγήσετε γιατί επιβεβαιώνουν τον ισχυρισμό της Μαρίας.
(Μονάδες 3)Να γράψετε δύο άρρητους αριθμούς που να αντικρούουν τον ισχυρισμό της Μαρίας και να εξηγήσετε γιατί τον αντικρούουν.
(Μονάδες 3)Να εξηγήσετε αν ο ισχυρισμός της Μαρίας είναι σωστός ή λανθασμένος με βάση τους αριθμούς που βρήκατε παραπάνω.
(Μονάδες 3)
Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.
ΛΥΣΗ
α) Σύμφωνα με την περιγραφή που δίνεται, οι αριθμοί που θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν:
- για την αρίθμηση βημάτων σε μία διαδικασία και την κατάταξη διαγωνιζομένων σε έναν διαγωνισμό είναι οι φυσικοί \(2,\sqrt{16}\).
- στη μέτρηση πλεονάσματος ή ελλείμματος προϊόντων στο εμπόριο είναι οι παραπάνω φυσικοί και ο ακέραιος \(-2\).
- στις ακριβείς μετρήσεις μεγεθών και στον λόγο διαστάσεων της οθόνης μιας τηλεόρασης είναι οι παραπάνω φυσικοί και ακέραιοι, καθώς και οι ρητοί \(3,14,\ \ \ \ 0,33…,\ \ \ \ \dfrac{1}{7}\).
- στην κρυπτογραφία και την προστασία ευαίσθητων δεδομένων οι άρρητοι \(3-\sqrt{2},\ \ \ \ π,\ \ \ \ 1,1010010001…,\ \ \ \ \dfrac{\sqrt{2}}{3}\).
β) Το ποσοστό του πλάτους σε σχέση με το ύψος της τηλεόρασης είναι μεγαλύτερο στην τηλεόραση που έχει μεγαλύτερο λόγο διαστάσεων και αυτή είναι η τηλεόραση με λόγο διαστάσεων 16:9 διότι \(\dfrac{16}{9}>\dfrac{4}{3}\), αφού ισοδύναμα \(16 \cdot 3>4\cdot 9,\) που ισοδύναμα δίνει \(48>36,\) το οποίο είναι προφανές. Εναλλακτικά θα μπορούσε να υπολογιστεί και να συγκριθεί το ποσοστό του πλάτους σε σχέση με το ύψος σε κάθε περίπτωση (για την τηλεόραση 16:9 επειδή \(\dfrac{16}{9}=1,777…\), το ποσοστό είναι περίπου 178%, ενώ στη δεύτερη περίπτωση το αντίστοιχο ποσοστό είναι περίπου 133%).
γ)
- Οι αριθμοί \(-\sqrt{2}\) και \(2\sqrt{2}\) έχουν άθροισμα \(-\sqrt{2}\) \(+ 2\sqrt{2}=\sqrt{2}\), που είναι άρρητος αριθμός, επομένως μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην κρυπτογραφία.
- Οι αριθμοί \(-\sqrt{2}\) και \(\sqrt{2}\) έχουν άθροισμα \(-\sqrt{2}\) \(+\sqrt{2}= 0,\) που είναι ρητός αριθμός, επομένως δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην κρυπτογραφία.
- Το ζεύγος των αριθμών του ii. ερωτήματος αποδεικνύει ότι υπάρχουν άρρητοι αριθμοί που το άθροισμά τους είναι ρητός. Επομένως ο ισχυρισμός της Μαρίας ότι «το άθροισμα δύο άρρητων αριθμών είναι πάντα άρρητος αριθμός» είναι λανθασμένος.