Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 1847 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 38844 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 07-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 38844 | ||
| Ύλη: | 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Ένας φωτογράφος αθλητικών γεγονότων, που έχει ρυθμίσει την κάμερά του να παίρνει αυτόματα διαδοχικές φωτογραφίες σε σταθερά χρονικά διαστήματα (λήψη ριπής), φωτογράφισε δύο αθλητές που έτρεχαν σε έναν αγώνα \(60\ m\) κλειστού στίβου. Ο αθλητής \(Α\) είχε παραπατήσει στην εκκίνηση και είχε μείνει αρκετά πίσω. Οι δύο αθλητές από τα \(10\ m\) και μετά έτρεχαν με σταθερή ταχύτητα, τη μεγαλύτερη που μπορούσε ο καθένας. Παρακάτω φαίνονται οι τρεις πρώτες λήψεις.
α) Σε ποια απόσταση από την αφετηρία θα απεικονίζει τον αθλητή \(Α\) η τέταρτη κατά σειρά λήψη και σε ποια τον αθλητή \(Β\) ;
(Μονάδες 2)
β) Πόση θα είναι απόσταση από την αφετηρία του αθλητή \(Α\) στη τη \(ν-\) οστή κατά σειρά λήψη και πόση του αθλητή \(Β\) ;
(Μονάδες 6)
γ) Να εξηγήσετε γιατί δεν υπάρχει φωτογραφία στην οποία απεικονίζονται και οι δύο αθλητές ακριβώς στην ίδια θέση.
(Μονάδες 4)
δ) Γνωρίζουμε ότι η φωτογραφική μηχανή παίρνει μία φωτογραφία ανά δευτερόλεπτο. Θεωρούμε ως χρονική στιγμή \(t=0\) τη στιγμή που έγινε η πρώτη λήψη.
- Να αντιγράψετε στην κόλλα σας το διπλανό σχήμα, όπου έχει σχεδιαστεί η ευθεία της γραφικής παράστασης της απόστασης που έχει διανύσει ο αθλητής \(B\) σε σχέση με τον χρόνο \(t\). Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση για τον αθλητή \(A\).
(Μονάδες 6)
Με βάση τις δύο γραφικές παραστάσεις, περίπου πόσο χρόνο μετά τη λήψη της πρώτης φωτογραφίας θα φτάσει ο αθλητής \(Α\) τον αθλητή \(Β\) ;
(Μονάδες 3)Να εξηγήσετε γιατί η απάντηση στο προηγούμενο ερώτημα δεν μπορεί να είναι \(3\ sec\) ή \(4\ sec\).
(Μονάδες 4)
Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.
ΛΥΣΗ
α) Ο αθλητής \(Α\) διανύει απόσταση \(10\ m\) ανάμεσα σε δύο διαδοχικές λήψεις και ο αθλητής \(Β\) απόσταση \(8\ m\). Άρα στην τέταρτη λήψη ο αθλητής \(Α\) θα βρίσκεται σε απόσταση \(30+10=40\ m\) από την αφετηρία και ο αθλητής \(Β\) σε απόσταση \(33+8=41\ m\).
β) Οι αποστάσεις από την αφετηρία του αθλητή \(Α\) κατά τις λήψεις των φωτογραφιών είναι όροι αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο \(α_{1}=10\) και διαφορά \(ω=10\). Άρα δίνονται από τη σχέση \(α_{ν}=10+(ν-1)10=10ν\). Αντίστοιχα, οι αποστάσεις \(β_{ν}\) του αθλητή Β αποτελούν αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο \(β_{1}=17\), διαφορά \(ω=8\) και δίνονται από τη σχέση \(β_{ν}=17+(ν-1)8=8ν+9\).
γ) Για να υπάρχει τέτοια φωτογραφία, θα πρέπει να υπάρχει φυσικός αριθμός \(ν\) τέτοιος ώστε:
$$α_{ν}=β_{ν},$$
δηλαδή
$$10ν=8ν+9,$$
οπότε
$$2ν=9,$$
και τελικά \(ν=4,5\) που απορρίπτεται καθώς δεν είναι φυσικός. Άρα σε καμία φωτογραφία οι δύο αθλητές δεν απεικονίζονται ο ένας ακριβώς δίπλα στον άλλον.
δ)
- Καθώς η αντίστοιχη γραφική παράσταση για τον αθλητή \(Α\) είναι ευθεία, για να την σχεδιάσουμε αρκεί να βρούμε δύο σημεία της. Από την πρώτη φωτογραφία προκύπτει ότι τη χρονική στιγμή \(t=0\ sec\) ο αθλητής απείχε \(10\ m\) από την αφετηρία. Άρα ένα σημείο είναι το \(Α(0,10)\).
Αντίστοιχα, από τη δεύτερη φωτογραφία προκύπτει ότι τη χρονική στιγμή \(t=1 sec\) ο αθλητής απείχε \(20\ m\) από την αφετηρία. Άρα ένα δεύτερο σημείο είναι το \(Β(1,20)\). Οπότε, έχουμε:
- Ο ζητούμενος χρόνος δίνεται από την τετμημένη του σημείου τομής των δύο γραφικών παραστάσεων και είναι περίπου \(3,5\ sec\).
- Η απάντηση στο προηγούμενο ερώτημα δεν μπορεί να είναι \(3 sec\) ή \(4 sec\), καθώς από τη στιγμή που η φωτογραφική μηχανή πραγματοποιεί μία λήψη ανά δευτερόλεπτο, αν συνέβαινε κάτι τέτοιο οι δύο αθλητές θα εμφανίζονταν σε μία φωτογραφία (στην 3η ή στην 4η) στην ίδια θέση. Αυτό όμως, με βάση το ερώτημα γ) δεν μπορεί να ισχύει.