Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 1245 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 38848 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 07-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 38848 | ||
| Ύλη: | 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Η αιθανόλη, κοινώς οινόπνευμα ή αλκοόλ, είναι μία χημική ένωση που χρησιμοποιείται στην αντισηψία και στην αρωματοποιία. Ένα υγρό καθαριστικό χεριών μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως αντισηπτικό, όταν περιέχει αιθανόλη κατά περισσότερο από \(30\%\). Στην αρωματοποιία η αιθανόλη χρησιμοποιείται ως βάση για τα αρώματα μαζί με αιθέρια έλαια. Το ποσοστό συμμετοχής της αιθανόλης σε ένα άρωμα είναι συνήθως μεγαλύτερο του \(70\%\).
α) Η Μαρία εργάζεται στην παραγωγή καθαριστικών χεριών. Σε ένα δοχείο περιέχονται \(500\ ml\) ενός υγρού καθαριστικού χεριών με \(20\%\) αιθανόλη.
i. Πόσα \(ml\) αιθανόλης περιέχει το υγρό καθαριστικό;
(Μονάδες 2)
ii. Η Μαρία σκέφτεται ότι «εάν στο καθαριστικό χεριών προσθέσουμε αιθανόλη, ώστε να διπλασιαστεί η ποσότητά της, τότε θα διπλασιαστεί και το ποσοστό της αιθανόλης που περιέχει το καθαριστικό». Συμφωνείτε ή διαφωνείτε με τη σκέψη της Μαρίας; Να εξηγήσετε την επιλογή σας.
(Μονάδες 5)
iii. Πόσα \(ml\) αιθανόλης πρέπει η Μαρία να προσθέσει στο παραπάνω υγρό καθαριστικό, ώστε το ποσοστό της αιθανόλης να είναι \(45\%\) ;
(Μονάδες 5)
iv. Πόσα τουλάχιστον \(ml\) αιθανόλης πρέπει η Μαρία να προσθέσει στο παραπάνω υγρό καθαριστικό, ώστε να μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως αντισηπτικό χεριών;
(Μονάδες 6)
β) Η Σοφία έφτιαξε μόνη της ένα άρωμα \(150\ ml\) χρησιμοποιώντας \(80\%\) αιθανόλη και αιθέρια έλαια. Επειδή της φάνηκε βαρύ, αποφάσισε να αγοράσει επιπλέον αιθανόλη, για να το αραιώσει έτσι, ώστε η περιεκτικότητα του αραιωμένου αρώματος σε αιθέρια έλαια να είναι \(15\%\). Πόσα \(ml\) αιθανόλης πρέπει να αγοράσει επιπλέον;
(Μονάδες 7)
Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.
ΛΥΣΗ
α)
i. Το καθαριστικό περιέχει \(\dfrac{20}{100}\cdot 500=100\ ml\) αιθανόλης.
ii. Εάν διπλασιάσουμε την ποσότητα αιθανόλης στο καθαριστικό δηλαδή έχουμε \(2\cdot 100=200 \ ml\) αιθανόλης, τότε θα έχουμε προσθέσει \(100\ ml\) αιθανόλης, οπότε θα αυξηθεί αντίστοιχα και η ποσότητα του καθαριστικού από \(500\) σε \(500+100=600\ ml\). Επομένως το ποσοστό της αιθανόλης στο νέο καθαριστικό θα είναι \(\dfrac{200}{600}=\dfrac{1}{3}\) δηλαδή περίπου \(33,3\%\) και όχι διπλάσιο, δηλαδή \(40\%\).
iii. Έστω ότι στο παραπάνω καθαριστικό πρέπει να προσθέσουμε \(x\ ml\) αιθανόλης. Τότε η αιθανόλη θα είναι \((100+x)\ ml\) και η ποσότητα του καθαριστικού θα γίνει \((500+x)\ ml\).
Έτσι, αφού το καθαριστικό θα περιέχει αιθανόλη κατά \(45\%\) θα ισχύει:
$$\dfrac{100}{500+x}=\dfrac{45}{100}$$ $$\Leftrightarrow 100\cdot (100+x)=45\cdot (500+x)$$ $$\Leftrightarrow 10000+100x=22500+45x$$ $$\Leftrightarrow 55x=12500$$ $$\Leftrightarrow x\approxeq 227,27$$
Επομένως θα πρέπει να προσθέσουμε \(227,27\ ml\) αιθανόλης.
iv. Έστω ότι στο παραπάνω καθαριστικό πρέπει να προσθέσουμε \(y\ ml\) αιθανόλης. Τότε, ομοίως με το προηγούμενο ερώτημα, θα έχουμε
$$\dfrac{100+y}{500+y}>\dfrac{30}{100}$$ $$\Leftrightarrow 100\cdot (100+y)>30\cdot (500+y)$$ $$\Leftrightarrow 1000+10y>1500+3y$$ $$\Leftrightarrow 7y>500$$ $$\Leftrightarrow y>71,43\ ml$$
β) Η ποσότητα των αιθέριων ελαίων παραμένει σταθερή κατά την αραίωση του αρώματος. Η ποσότητα αυτή στο αρχικό άρωμα ήταν \(\dfrac{20}{100}\cdot 150=30\ ml\). Αν η Σοφία αγοράσει \(z\ ml\) αιθανόλης, για να αραιώσει το άρωμα, τότε η ποσότητα του νέου αρώματος θα είναι \((150+z)\ ml\), η ποσότητα αιθέριων ελαίων θα παραμείνει \(30\ ml\), και θα ισχύει:
$$\dfrac{30}{150+z}=\dfrac{15}{100}$$ $$\Leftrightarrow 100\cdot 30=15\cdot (150+z)$$ $$\Leftrightarrow 200=150+z$$ $$\Leftrightarrow z=50$$
Επομένως η Σοφία θα πρέπει να αγοράσει \(50\ ml\) επιπλέον αιθανόλης.