Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 1223 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 38864 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 07-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 38864 | ||
| Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Μια εταιρεία κατασκευάζει μετρητές αποστάσεων με χρήση Laser. Για να ξεκινήσει την παραγωγή ενός νέου μετρητή, πρέπει το σφάλμα μέτρησης \(|x-x_{α}|\), όπου \(x_{α}\) είναι η πραγματική απόσταση και \(x\) το αποτέλεσμα της μέτρησης με τη νέα συσκευή, να είναι το πολύ μέχρι το \(1%\) της πραγματικής απόστασης \(x_{α}\).
α) Αν στις δοκιμές που έκανε η εταιρεία, η πραγματική απόσταση ήταν \(x_{α}=200 m\), ποιες τιμές της μέτρησης \(x\) είναι αποδεκτές;
(Μονάδες 5)
β)
i. Να δείξετε ότι γενικότερα οι τιμές \(x\) της μέτρησης με τον μετρητή μπορεί να είναι από \(0,99x_{α}\) μέχρι και \(1,01x_{α}\), δηλαδή ότι ισχύει \(0,99x_{a}\le x\le 1,01x_{α}\).
(Μονάδες 4)
ii. Να αποδείξετε ότι δύο μετρήσεις της ίδιας πραγματικής απόστασης \(x_{α}\) μπορεί να διαφέρουν μεταξύ τους το πολύ κατά \(0,02x_{α}\).
(Μονάδες 3)
iii. Μέχρι ποια απόσταση \(x_{α}\), οι διάφορες μετρήσεις \(x\) που μπορεί να δώσει ο μετρητής για αυτή, δεν μπορεί να διαφέρουν μεταξύ τους περισσότερο από \(0,5\ m\) ;
(Μονάδες 6)
γ) Αν η τιμή που δίνει ο μετρητής είναι \(x=150 m\), ποιες είναι οι πιθανές τιμές \(x_{a}\) της πραγματικής απόστασης;
(Μονάδες 7)
(Δίνεται ότι \(\dfrac{150}{1,01}≃148,51\) και \(\dfrac{150}{0,99}≃151,51\))
Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.
ΛΥΣΗ
α) Πρέπει \(|x-200|\le \dfrac{1}{100}200,\) οπότε \(|x-200|\le 2\) άρα \(-2\le x-200\le 2\) και τελικά \(198\le x\le 202\). Άρα οι αποδεκτές τιμές της μέτρησης είναι από \(198 m\) μέχρι \(202 m\).
β)
Έχουμε ότι
$$|x-x_{α}|\le \dfrac{1}{100}x_{α}$$
άρα
$$-\dfrac{x_{α}}{100}\le x-x_{α}\le \dfrac{x_{α}}{100}$$
οπότε
$$-\dfrac{x_{α}}{100}+x_{α}\le x\le \dfrac{x_{α}}{100}+x_{α}$$
δηλαδή
$$\dfrac{99}{100}x_{α}\le x\le \dfrac{101}{100}x_{α}$$
και τελικά
$$0,99x_{α}\le x\le 1,01x_{α}$$
Από τη σχέση \(0,99x_{α}\le x\le 1,01x_{α}\) προκύπτει ότι η μεγαλύτερη διαφορά δύο μετρήσεων είναι αυτή των δύο ακραίων τιμών \(0,99x_{α}\) και \(1,01x_{α}\), δηλαδή \(1,01x_{a}-0,99x_{α}=0,02x_{α}\).
Πρέπει \(0,02x_{α}\le 0,5\) ή \(x_{α}\le \dfrac{0,5}{0,02}\) ή \(x_{α}\le 25\). Άρα οι μετρήσεις μιας απόστασης \(x_{α}\) δεν μπορεί να διαφέρουν μεταξύ τους περισσότερο από \(0,5\ m\), αν η απόσταση αυτή είναι μέχρι και \(25 m\).
γ) Έχουμε ότι
$$0,99x_{α}\le x\le 1,01x_{α}$$
άρα για \(x=150\)
$$0,99x_{α}\le 150\le 1,01x_{α}$$
δηλαδή
$$0,99\le \dfrac{150}{x_{a}}\le 1,01$$
οπότε
$$\dfrac{1}{1,01}\le \dfrac{x_{α}}{150}\le \dfrac{1}{0,99}$$
Άρα
$$\dfrac{150}{1,01}\le x_{α}\le \dfrac{150}{0,99}$$
ή
$$148,51\le x_{α}\le 151,51$$
Άλλος τρόπος
Έχουμε ότι
$$0,99x_{α}\le x\le 1,01x_{α}$$
άρα για \(x=150\)
$$0,99x_{α}\le 150\le 1,01x_{α}$$
δηλαδή
$$0,99x_{α}\le 150\text{ και }150\le 1,01x_{a},$$
oπότε
$$x_{α}\le \dfrac{150}{0,99}\text{ και }\dfrac{150}{1,01}\le x_{a}$$
και τελικά
$$\dfrac{150}{1,01}\le x_{α}\le \dfrac{150}{0,99}$$
ή
$$148,51\le x_{α}\le 151,51$$
Άλλος τρόπος
Έχουμε
$$|150-x_{a}|\le \dfrac{1}{100}x_{a}$$
άρα
$$-\dfrac{x_{α}}{100} < x_{α}-150<\dfrac{x_{α}}{100}$$
Δηλαδή, πρέπει:
$$-\dfrac{x_{α}}{100} < x_{α}-150\text{ και } x_{α}-150<\dfrac{x_{α}}{100},$$
δηλαδή
$$150 < \dfrac{x_{α}}{100}+x_{α}\text{ και }x_{α}-\dfrac{x_{α}}{100}<150,$$
άρα
$$150 < \dfrac{101}{100}x_{α}\text{ και }\dfrac{99}{100}x_{α}<150$$
οπότε
$$\dfrac{15.000}{101} < x_{α}\text{ και }x_{a}<\dfrac{15.000}{99}$$
Άρα, τελικά
$$\dfrac{15.000}{101} < x_{α}<\dfrac{15.000}{99}$$ $$\text{ή }148,51\le x_{α}\le 151,51$$