Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 2163 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 38865 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 07-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 5.2. Αριθμητική πρόοδος 5.3. Γεωμετρική πρόοδος | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 38865 | ||
| Ύλη: | 5.2. Αριθμητική πρόοδος 5.3. Γεωμετρική πρόοδος | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Ο Αντόνιο και η Μπάρμπαρα ξεκινούν να εργάζονται σε διαφορετικές εταιρείες την ίδια μέρα. Ο καθένας έχει ετήσιο μισθό \(8.000\) ευρώ κατά τον πρώτο χρόνο απασχόλησης. Οι συμβάσεις εργασίας προβλέπουν αύξηση μισθού στην αρχή κάθε επόμενου έτους (δηλαδή στην αρχή του δεύτερου έτους, του τρίτου, κτλ). Ο Αντόνιο πληρώνεται με βάση το σχέδιο \(Α\) και η Μπάρμπαρα με βάση το σχέδιο \(Β\).
Σχέδιο \(Α\) : Ο ετήσιος μισθός αυξάνεται κατά \(450\) ευρώ κάθε χρόνο.
Σχέδιο \(Β\): Ο ετήσιος μισθός αυξάνεται κατά \(5%\) κάθε χρόνο.
α) Να υπολογίσετε τον ετήσιο μισθό του Αντόνιο και της Μπάρμπαρα στην αρχή του τρίτου έτους της απασχόλησής τους.
(Μονάδες 4)
β) Να γράψετε μια αλγεβρική έκφραση για τον ετήσιο μισθό του Αντόνιο και τον αντίστοιχο της Μπάρμπαρα στην αρχή του \(ν-\) οστού έτους απασχόλησής τους.
(Μονάδες 8)
γ) Ο Αντόνιο ισχυρίζεται ότι ο ετήσιος μισθός του θα είναι κάθε χρόνο μεγαλύτερος από τον αντίστοιχο της Μπάρμπαρα, αφού από τη συμπλήρωση του πρώτου κιόλας χρόνου θα παίρνει περισσότερα χρήματα από εκείνην. Η Μπάρμπαρα διαφωνεί και του λέει ότι αυτό θα ισχύει μέχρι την συμπλήρωση του 6ου χρόνου. Μόλις ξεκινήσει ο 7ος χρόνος τους στην εταιρεία, ο ετήσιος μισθός της θα είναι μεγαλύτερος. Με ποια από τις δυο τοποθετήσεις συμφωνείτε; Να εξηγήσετε τη σκέψη σας.
(Μονάδες 8)
δ) Εάν τόσο ο Αντόνιο όσο και η Μπάρμπαρα εργαστούν στις ίδιες εταιρείες για συνολικά \(15\) χρόνια, να βρείτε τη διαφορά των χρημάτων που θα έχουν εισπράξει κατά τη διάρκεια αυτών των \(15\) ετών.
(Μονάδες 5)
Δίνεται ότι \(1,05^{5}\approxeq 1,28\)
\(1,05^{6}\approxeq 1,34\)
\(1,05^{15}\approxeq 2,08\)
Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.
ΛΥΣΗ
α) Στην αρχή του δεύτερου έτους απασχόλησης ο Αντόνιο θα πάρει: \(8.000+450=8.450\) ευρώ. Στην αρχή του τρίτου χρόνου απασχόλησης θα πάρει: \(8.450+450=8.900\) ευρώ.
Αντίστοιχα, η Μπάρμπαρα θα πάρει:
$$8.000+5%\cdot 8.000=8.000\cdot (1+\dfrac{5}{100})=8.000\cdot\dfrac{105}{100}=80\cdot 105=8.400$$ ευρώ
και στην αρχή του τρίτου χρόνου,
\(8.400+5%\cdot 8.400=8.400\cdot \dfrac{105}{100}=84\cdot 105=8.820\) ευρώ.
β) Τα χρήματα που παίρνει ο Αντόνιο στην αρχή κάθε έτους απασχόλησης είναι όροι αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο \(α_{1}=8000\) και διαφορά \(ω=450\). Άρα στην αρχή του \(ν-οστού\) έτους θα πάρει \(α_{ν}=8.000+(ν-1)\cdot 450=7.550+450ν\).
Τα χρήματα που παίρνει η Μπάρμπαρα στην αρχή κάθε έτους απασχόλησης είναι όροι γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο \(β_{1}=8.000\) και λόγο \(λ=1+\dfrac{5}{100}=\dfrac{105}{100}=1,05\).
Άρα στην αρχή του \(ν-οστού\) έτους θα πάρει \(β_{ν}=8.000\cdot 1,05^{ν-1}\)
γ) Μπορεί μετά τη συμπλήρωση του πρώτου κιόλας χρόνου ο Αντόνιο να παίρνει περισσότερα χρήματα από την Μπάρμπαρα (όπως βλέπουμε στο α) ερώτημα), αλλά αυτό συμβαίνει μέχρι και τη συμπλήρωση του 6ου χρόνου, αφού ο Αντόνιο θα παίρνει \(α_{6}=7.550+450\cdot 6=10.250\) ευρώ και η Μπάρμπαρα \(β_{6}=8.000\cdot 1,05^{6-1}\approxeq 8.000\cdot 1,28=10.240\) ευρώ.
Στην αρχή του έβδομου έτους ο Αντόνιο θα πάρει \(α_{7}=7.550+450\cdot 7=10.700\) ευρώ και η Μπάρμπαρα \(β_{7}=8.000\cdot 1,05^{7-1}\approxeq 8.000\cdot 1,34=10.720\) ευρώ. Άρα έχει δίκιο η Μπάρμπαρα.
δ) Ο Αντόνιο θα εισπράξει συνολικά στα \(15\) χρόνια εργασίας:
$$S_{15}=\dfrac{15}{2}\cdot (2\cdot 8.000+14\cdot 450)$$ $$=15\cdot (8.000+7\cdot 450)=15\cdot 11.150=167.250\text{ ευρώ}$$
και η Μπάρμπαρα:
$$S_{15}=8.000\cdot \dfrac{1,05^{15}-1}{1,05-1}$$ $$=160.000\cdot (1,05^{15}-1)\approxeq 160.000(2,08-1)=172.800\text{ ευρώ}$$
Άρα η Μπάρμπαρα θα κερδίσει \(172.800-167.250=5.550\) ευρώ περισσότερα από τον Αντόνιο.