Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 2093 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 38873 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 07-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 38873 | ||
| Ύλη: | 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Ένα γραπτό τεστ γνώσεων αποτελείται από \(20\) ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, καθεμία από τις οποίες έχει μοναδική σωστή απάντηση.
Υπάρχουν δύο τρόποι να βαθμολογηθεί το τεστ:
- Πρώτος τρόπος: Κάθε σωστή απάντηση αντιστοιχεί σε \(5\) μονάδες, χωρίς «αρνητική βαθμολογία», δηλαδή χωρίς κανείς να χάνει μονάδες για κάθε λαναθασμένη απάντηση.
- Δεύτερος τρόπος: Κάθε σωστή απάντηση αντιστοιχεί σε \(4,5\) μονάδες και υπάρχει «αρνητική βαθμολογία» \(0,5\) μονάδα για κάθε λανθασμένη, ενώ \(10\) επιπλέον μονάδες παίρνει κανείς, αν παραδώσει το τεστ πλήρως απαντημένο (δεν έχει μείνει καμιά ερώτηση αναπάντητη).
α) Πόσους βαθμούς θα πάρει με τον πρώτο και με τον δεύτερο τρόπο βαθμολόγησης ένα πλήρως απαντημένο τεστ με καμία σωστή απάντηση και πόσους ένα άλλο με μόνο δύο σωστές απαντήσεις;
(Μονάδες 8)
β) Βαθμολογούμε ένα πλήρως απαντημένο τεστ και με τους δύο τρόπους. Δίνει κάποιος από τους τρόπους βαθμολόγησης μεγαλύτερη βαθμολογία, ανεξάρτητα από το πλήθος των σωστών απαντήσεων;
(Μονάδες 7)
γ) Από τον φορέα που σχεδίασε το τεστ προτάθηκε ένας τρίτος τρόπος βαθμολόγησης.
Σύμφωνα με αυτόν, αν \(x\) είναι το πλήθος των σωστών απαντήσεων του απαντημένου τεστ, τότε η βαθμολογία του δίνεται από τη συνάρτηση:
Βαθμολογούμε ένα πλήρως απαντημένο τεστ με τον πρώτο και με τον τρίτο τρόπο. Πόσες πρέπει να είναι οι σωστές απαντήσεις, ώστε το τεστ αυτό να πάρει μεγαλύτερη βαθμολογία με τον τρίτο τρόπο βαθμολόγησης;
(Μονάδες 10)
Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.
ΛΥΣΗ
α) Ένα τεστ με καμία σωστή απάντηση με τον πρώτο τρόπο παίρνει \(5\cdot 0=0\) βαθμούς.
Επειδή και οι \(20\) απαντήσεις είναι λανθασμένες, με τον δεύτερο τρόπο παίρνει:
$$4,5\cdot 0+20\cdot (-0,5)+10=0$$ βαθμούς. Ένα τεστ με δύο σωστές απαντήσεις, με τον πρώτο τρόπο παίρνει $5\cdot 2=10$ βαθμούς, ενώ με τον δεύτερο $$4,5\cdot 2+18\cdot (-0,5)+10=10$$.
β) Δοκιμάζοντας για \(2\) σωστές, για \(10\) σωστές και για \(15\) σωστές βλέπουμε ότι και με τους δύο τρόπους παίρνουμε την ίδια βαθμολογία. Για να βεβαιωθούμε, μπορούμε να βρούμε τις αλγεβρικές παραστάσεις που εκφράζουν τους δύο τρόπους βαθμολόγησης.
Με τον πρώτο τρόπο, κάθε σωστή απάντηση παίρνει \(5\) μονάδες, άρα το σύνολο των μονάδων δίνεται από τη σχέση \(5x\), για \(x\) ακέραιο στο διάστημα \([0, 20]\).
Με τον δεύτερο τρόπο, κάθε σωστή απάντηση παίρνει \(4,5\) μονάδες, για κάθε λανθασμένη αφαιρούνται \(0,5\) μονάδες και συνολικά το τεστ παίρνει επιπλέον \(10\) μονάδες.
Αν \(x\) είναι οι σωστές απαντήσεις, οι λανθασμένες είναι \(20-x\).
Το σύνολο των μονάδων δίνεται από τη σχέση:
$$4,5x-0,5(20-x)+10=4,5x-10+0,5x+10=5x$$
για \(x\) ακέραιο στο διάστημα \([0, 20]\).
Όπως βλέπουμε, η βαθμολογία και με τους δύο τρόπους δίνεται από την ίδια σχέση, άρα κανένας από τους δύο τρόπους δεν δίνει μεγαλύτερη βαθμολογία στο ίδιο πλήρως απαντημένο τεστ.
γ) Αν \(x\) είναι οι σωστές απαντήσεις του τεστ, τότε με τον πρώτο τρόπο βαθμολόγησης, το τεστ παίρνει \(5x\) βαθμούς.
Με τον τρίτο τρόπο βαθμολόγησης:
Αν οι σωστές απαντήσεις είναι λιγότερες από \(4\), τότε η βαθμολογία είναι \(0\).
Για να ισχύει το ζητούμενο, πρέπει \(0>5x\), που είναι αδύνατο, γιατί το \(x\) αντιστοιχεί σε πλήθος σωστών απαντήσεων και είναι μη αρνητικός αριθμός.
Αν οι σωστές απαντήσεις είναι από \(4\) έως \(18\), τότε για να ισχύει το ζητούμενο πρέπει:
$$6,5x-20>5x$$ $$\text{ή }6,5x-5x>20$$ $$\text{ή }1,5x>20$$ $$\text{ή }x>20:1,5$$ $$\text{ή }x>\dfrac{200}{15}$$ $$\text{ή }x>\dfrac{40}{3}\approxeq 13,3$$
Άρα πρέπει να έχουμε περισσότερες από \(13\) σωστές απαντήσεις.
Αν οι σωστές απαντήσεις είναι περισσότερες από \(18\), τότε για να ισχύει το ζητούμενο πρέπει:
$$100>5x \text{ ή } 5x<100\text{ ή }x<\dfrac{100}{5}\text{ ή }x<20$$
δηλαδή οι απαντήσεις να είναι λιγότερες από \(20\), άρα \(19\).
Τελικά, για πλήθος σωστών απαντήσεων από \(14\) έως \(19\), ο τρίτος τρόπος δίνει μεγαλύτερες βαθμολογίες.