Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 1247 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 38875 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 07-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 38875 | ||
| Ύλη: | 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Σε ένα τηλεπαιχνίδι ερωτήσεων κάθε παίκτης ή παίκτρια απαντάει ερωτήσεις τη μία μετά την άλλη και συγκεντρώνει βαθμούς. Σύμφωνα με τους κανόνες του παιχνιδιού:
Κερδίζει \(10\) βαθμούς για κάθε σωστή απάντηση
Χάνει \(3\) βαθμούς για κάθε λανθασμένη απάντηση.
Αν δεν απαντήσει καθόλου σε κάποια ερώτηση, δεν κερδίζει ούτε χάνει βαθμούς.
Σταματάει να παίζει και χάνει, όταν η βαθμολογία του γίνει αρνητική.
Ο μέγιστος αριθμός ερωτήσεων που μπορεί να απαντήσει είναι \(30\).
α) Μια παίκτρια έχει απαντήσει μέχρι στιγμής σε \(5\) ερωτήσεις, σωστά σε \(3\) και λάθος σε \(2\).
i. Ποια είναι η μεγαλύτερη βαθμολογία στην οποία μπορεί φτάσει μέχρι το τέλος;
(Μονάδες 5)
ii. Αν απαντήσει σωστά σε \(x\) ακόμα ερωτήσεις και λάθος στις υπόλοιπες, χωρίς να χάσει, να αποδείξετε ότι η τελική βαθμολογία της δίνεται από τη σχέση:
$$13x-51$$
(Μονάδες 7)
iii. Αν απαντήσει σε όλες τις υπόλοιπες ερωτήσεις είτε σωστά είτε λάθος, χωρίς να χάσει, να αποδείξετε ότι δεν μπορεί να πάρει λιγότερο από \(1\) βαθμό.
(Μονάδες 5)
β) Ένας παίκτης σκέφτηκε να ακολουθήσει μία από τις δύο στρατηγικές:
- 1η στρατηγική: Να απαντάει μόνο τις ερωτήσεις των οποίων γνωρίζει με βεβαιότητα τις σωστές απαντήσεις.
- 2η στρατηγική: Να απαντάει όλες τις ερωτήσεις ανεξάρτητα από το αν γνωρίζει τις σωστές απαντήσεις ή όχι.
Τελικά επέλεξε στρατηγική και απάντησε σε όλες τις ερωτήσεις του παιχνιδιού, χωρίς να χάσει.
i. Σύμφωνα με τη δεύτερη στρατηγική: Αν \(σ\) είναι το πλήθος των σωστών απαντήσεων για τις οποίες ήταν σίγουρος και πράγματι απάντησε σωστά και \(x\) είναι το πλήθος των σωστών απαντήσεων που έδωσε χωρίς να είναι σίγουρος, να αποδείξετε ότι η βαθμολογία του δίνεται από τον τύπο \(13x+13σ-90\), με \(0\le x\le 30-σ\).
(Μονάδες 5)
ii. Αν γνώριζε τις σωστές απαντήσεις σε \(4\) από τις \(30\) ερωτήσεις και ακολούθησε τη δεύτερη στρατηγική, σε πόσες από τις τυχαία απαντημένες ερωτήσεις θα πρέπει να πέτυχε τη σωστή απάντηση, ώστε να θεωρήσουμε επιτυχή την επιλογή στρατηγικής;
(Μονάδες 3)
Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.
ΛΥΣΗ
α)
i. Η παίκτρια, μέχρι την πέμπτη ερώτηση έχει \(10\cdot 3-2\cdot 3=24\) βαθμούς.
Πετυχαίνει τη μέγιστη βαθμολογία, αν απαντήσει σωστά τις υπόλοιπες \(25\) ερωτήσεις.
Αυτή είναι \(24+25\cdot 10=274\) βαθμούς.
Εφόσον δεν χάνει, απαντά σε όλες τις υπόλοιπες \(25\) ερωτήσεις, είτε σωστά είτε λάθος.
Η βαθμολογία που παίρνει από τις σωστές απαντήσεις είναι \(10x\), ενώ από τις υπόλοιπες \(25-x\) λανθασμένες χάνει \(3(25-x)\) βαθμούς.
Άρα η τελική βαθμολογία της είναι:
$$24+10x-3(25-x)=24+10x-75+3x=13x-51$$
iii. Εφόσον δεν έχασε και έφτασε μέχρι το τέλος του παιχνιδιού, η βαθμολογία της δεν έγινε αρνητική κατά τη διάρκεια του παιχνιδιού.
Έτσι, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο τύπος του ερωτήματος ii. Άρα πρέπει:
$$13x-51\ge 0\text{ ή }13x\ge 51\text{ ή }x\ge \dfrac{51}{13}\approxeq 3,92$$
Όμως η τιμή του \(x\) είναι ακέραιος αριθμός, γιατί εκφράζει πλήθος σωστών απαντήσεων. Επομένως είναι \(x\ge 4\), με \(x\) ακέραιο.
Για \(x=4\) έχει τις λιγότερες σωστές απαντήσεις, άρα και την μικρότερη βαθμολογία, η οποία είναι \(13\cdot 4-51=1\) βαθμός.
Πράγματι, αν απαντήσει σε \(4+3=7\) ερωτήσεις σωστά και στις υπόλοιπες λανθασμένα, τότε θα έχει \(7\cdot 10-23\cdot 3=1\) βαθμό.
β)
i. Με τη δεύτερη στρατηγική:
Εφόσον γνώριζε με βεβαιότητα \(σ\) απαντήσεις, για αυτές πήρε \(10σ\) βαθμούς.
Αν από τις υπόλοιπες \(30-σ\) ερωτήσεις έχει απαντήσει σωστά τις \(x\), τότε:
Ισχύει \(0\le x\le 30-σ\).
Κέρδισε \(10x\) βαθμούς, επιπλέον.
Απάντησε λάθος σε \(30-σ-x\) ερωτήσεις και για αυτές έχασε \(3\cdot (30-σ-x)\) βαθμούς.
Για τις \(30-σ\) βαθμολογήθηκε με:
$$10x-3(30-σ-x)=10x-90+3σ+3x=13x+3σ-90$$
Επομένως η συνολική του βαθμολογία για τις \(30\) ερωτήσεις είναι:
$$10σ+13x+3σ-90=13x+13σ-90$$
ii. Με την πρώτη στρατηγική θα έπαιρνε \(4\cdot 10=40\) βαθμούς.
Με τη δεύτερη στρατηγική, εφαρμόζοντας τον τύπο του βi για \(σ=4,\) βρίσκουμε ότι θα έπαιρνε \(13x+13\cdot 4-90=13x-38\) βαθμούς, όπου \(0\le x\le 26\) με \(x\) το πλήθος των σωστών απαντήσεων, για τις οποίες δεν ήταν σίγουρος, όταν τις έδωσε.
Για να είναι επιτυχής η επιλογή στρατηγικής, πρέπει:
$$13x-38\ge 40\text{ ή }13x\ge 78\text{ ή }x\ge 6$$
Άρα, αν πέτυχε επιπλέον \(6\) ή περισσότερες σωστές απαντήσεις, εκτός από τις \(4\) για τις οποίες ήταν βέβαιος, η επιλογή στρατηγικής ήταν επιτυχής.