Θέμα: 38878

Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Πηγή: Ι.Ε.Π.	Αναγνώσθηκε: 2055 φορές Επικοινωνία
Μάθημα:	Άλγεβρα	Τάξη:	Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος:	38878	Θέμα:	4
Τελευταία Ενημέρωση:	11-Δεκ-2025	Ύλη:	5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	38878
Ύλη:	5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 11-Δεκ-2025
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Αρχείο Εκφώνησης (PDF) Αρχείο Εκφώνησης (DOC)

ΘΕΜΑ 4
Για την επίλυση σύνθετων προβλημάτων με υπολογισμούς χρησιμοποιούνται ηλεκτρονικοί υπολογιστές ή δίκτυα υπολογιστών. Αν δημιουργήσουμε ένα δίκτυο υπολογιστών με υπολογιστές γενιάς $G$, τότε για κάθε επιπλέον υπολογιστή ο χρόνος που χρειάζεται για την επίλυση ενός οποιουδήποτε προβλήματος μειώνεται κατά $25%$ σε σύγκριση με τον χρόνο που χρειαζόταν χωρίς τον επιπλέον υπολογιστή.
α) Για την επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος με σύνθετους υπολογισμούς έχει εκτιμηθεί ότι ένας υπολογιστής γενιάς $G$ χρειάζεται $20$ δευτερόλεπτα. Χρησιμοποιούμε ένα δίκτυο $3$ υπολογιστών γενιάς $G$. Είναι σωστή καθεμία από τις επόμενες προτάσεις; Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
i. Ο χρόνος που θα χρειαστεί τo δίκτυο των $3$ υπολογιστών για την επίλυση του προβλήματος είναι μεταξύ $11$ και $12$ δευτερολέπτων.
(Μονάδες 5)
ii. Με το δίκτυο των $3$ υπολογιστών, ο χρόνος επίλυσης του προβλήματος μειώνεται κατά $(\dfrac{1}{4})^{2}\cdot 20$ δευτερόλεπτα.
(Μονάδες 5)
iii. Ο χρόνος που χρειάζεται το δίκτυο $3$ υπολογιστών για την επίλυση του προβλήματος είναι $(\dfrac{3}{4})^{3}\cdot 20$ δευτερόλεπτα.
(Μονάδες 5)
β) Αν $t$ είναι ο χρόνος που χρειάζεται για να επιλυθεί ένα σύνθετο πρόβλημα με υπολογισμούς από $1$ υπολογιστή γενιάς $G$, να αποδείξετε ότι ένα δίκτυο $ν$ υπολογιστών γενιάς $G$ λύνει το ίδιο πρόβλημα σε $(\dfrac{3}{4})^{ν-1}\cdot t$.
(Μονάδες 5)
γ) Ένα σύνθετο πρόβλημα λύνεται με ένα δίκτυο $4$ υπολογιστών γενιάς $G$ σε $3$ δευτερόλεπτα. Σε πόσο χρόνο θα λυνόταν το ίδιο πρόβλημα με $1$ υπολογιστή γενιάς $G$;
(Μονάδες 5)

Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.

Εμφάνιση Απάντησης

Αρχείο Απάντησης (PDF) Αρχείο Απάντησης (DOC)

ΛΥΣΗ
α)
i. Για έναν υπολογιστή ο χρόνος επίλυσης του προβλήματος είναι $20$ δευτερόλεπτα.
Για κάθε υπολογιστή που προστίθεται στο δίκτυο, ο χρόνος μειώνεται κατά $25%$ ή $\dfrac{1}{4}$.
Για $2$ υπολογιστές ο χρόνος μειώνεται κατά $\dfrac{1}{4}$, δηλαδή κατά $\dfrac{1}{4}\cdot 20=5$ δευτερόλεπτα, συνεπώς είναι $15$ δευτερόλεπτα.
Για $3$ υπολογιστές ο χρόνος μειώνεται επιπλέον κατά $\dfrac{1}{4}$ του $15$, δηλαδή $\dfrac{1}{4}\cdot 15=3,75$ δευτερόλεπτα.
Άρα ο χρόνος που χρειάζεται είναι $15-3,75=11,25$ δευτερόλεπτα.
Επομένως η πρόταση είναι σωστή.
ii. Κάνουμε τους υπολογισμούς: $(\dfrac{1}{4})^{2}\cdot 20=\dfrac{1}{16}\cdot 20=\dfrac{20}{16}=1,25$. Σύμφωνα με αυτούς, ο χρόνος θα μειωνόταν κατά $1,25$ δευτερόλεπτα. Όμως σύμφωνα με την απάντηση στο i, ο χρόνος μειώνεται κατά $20-11,25=8,75$ δευτερόλεπτα.
Επομένως η πρόταση ii είναι λανθασμένη.
Άλλωστε, ένας υπολογισμός που δίνει τη μείωση του χρόνου είναι ο εξής:
Για $1$ επιπλέον υπολογιστή: $\dfrac{1}{4}\cdot 20$.
Ο χρόνος που χρειάζεται για την επίλυση του προβλήματος με $2$ υπολογιστές: $20-\dfrac{1}{4}\cdot 20$.
Η μείωση του χρόνου για $1$ επιπλέον υπολογιστή είναι: $\dfrac{1}{4}\cdot (20-\dfrac{1}{4}\cdot 20)$.
iii. Ο υπολογισμός $(\dfrac{3}{4})^{3}\cdot 20$ μας δίνει ως χρόνο για την επίλυση του προβλήματος με δίκτυο $3$ υπολογιστών $\dfrac{27}{64}\cdot 20=8,4375$ δευτερόλεπτα, άρα η πρόταση είναι λανθασμένη.
Ένας ακόμα τρόπος να υπολογίσουμε τον απαιτούμενο χρόνο είναι ο εξής:
εφόσον για κάθε επιπλέον υπολογιστή στο δίκτυο ο χρόνος μειώνεται κατά $\dfrac{1}{4}$, τότε ο χρόνος που απαιτείται είναι $\dfrac{3}{4}$ του χρόνου που χρειαζόταν πριν προστεθεί ο υπολογιστής.
Άρα, για ένα δίκτυο $2$ υπολογιστών, δηλαδή για $1$ επιπλέον υπολογιστή, ο χρόνος που χρειάζεται είναι $\dfrac{3}{4}\cdot 20$ δευτερόλεπτα.
Για ένα δίκτυο $3$ υπολογιστών, ο χρόνος που χρειάζεται είναι $\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{3}{4}\cdot 20=11,25$ δευτερόλεπτα.
β) Για κάθε επιπλέον υπολογιστή γενιάς $G$ που προστίθεται στο δίκτυο ο χρόνος επίλυσης του προβλήματος είναι ίσος με τα $\dfrac{3}{4}$ του χρόνου που χρειαζόταν χωρίς αυτόν.
Για $1$ επιπλέον υπολογιστή ο χρόνος επίλυσης είναι $\dfrac{3}{4}\cdot t$, για $2$ επιπλέον υπολογιστές ο χρόνος είναι $\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{3}{4}\cdot t=(\dfrac{3}{4})^{2}\cdot t$, για $3$ επιπλέον υπολογιστές ο χρόνος είναι $\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{3}{4}\cdot t=(\dfrac{3}{4})^{3}\cdot t$, κτλ.
Σε ένα δίκτυο με $ν$ υπολογιστές έχουμε $ν-1$ επιπλέον υπολογιστές, άρα ο χρόνος που απαιτείται για την επίλυση του προβλήματος είναι $(\dfrac{3}{4})^{ν-1}\cdot t$.
γ) Εφόσον έχουμε δίκτυο $4$ υπολογιστών, σύμφωνα με την απάντηση στο β) είναι $ν=4$.
Εφόσον ο απαιτούμενος χρόνος για την επίλυση του προβλήματος είναι $3$ δευτερόλεπτα:

$$(\dfrac{3}{4})^{4-1}\cdot t=3$$ $$(\dfrac{3}{4})^{3}\cdot t=3$$ $$\dfrac{27}{64}\cdot t=3$$ $$27t=3\cdot 64$$ $$27t=216$$ $$t=\dfrac{216}{27}$$ $$t=7,111…$$

Άρα, για την επίλυση του προβλήματος με $1$ υπολογιστή γενιάς $G$ απαιτούνται περίπου $7$ δευτερόλεπτα.